Đối với giá trị nào của $\alpha$ Là { $z_n$} một chuỗi có giới hạn?

Question

Ở đâu $\alpha$ là một hằng số thực, hãy xem xét dãy số {$z_n$} Được định nghĩa bởi $z_n=\frac{1}{n^\alpha}$. Đối với giá trị nào của$\alpha$ Là {$z_n$} một chuỗi có giới hạn?

Làm thế nào để tôi bắt đầu với loại câu hỏi này? tôi nghĩ vậy$\forall\space \alpha\in\Bbb{R}_{\geq0}$ chuỗi là hội tụ và do đó có giới hạn, nhưng làm thế nào để viết nó ra?

Answer 1

Nếu $\alpha=0$, $(z_n)$ là hằng số, do đó có giới hạn.

Nếu $\alpha>0$, $(z_n)$ hội tụ về 0 và do đó bị giới hạn.

Nếu $\alpha<0$, $(z_n)$ chuyển hướng đến $+\infty$ và do đó không bị ràng buộc.

Answer 2

Như tôi đã nêu trong bình luận, bạn có câu trả lời chính xác. Nhiệm vụ còn lại duy nhất là đưa ra lời giải thích chính thức về câu trả lời. Một cách để viết câu trả lời như sau:

Đầu tiên, chúng tôi lưu ý rằng chức năng $f: \Bbb [1,\infty) \to \Bbb R$ Được định nghĩa bởi $f(x) = x^{\beta}$ thỏa mãn $$ \lim_{x \to \infty}f(x) = \begin{cases} 0 & \beta < 0\\ 1 & \beta = 0\\ \infty & \beta > 0. \end{cases} $$ Tôi nghi ngờ rằng bạn không cần phải chứng minh câu nói này một cách chính thức: rất có thể đã có một câu nói trong sách giáo khoa mà bạn có thể tham khảo.

Với điều đó đã được thiết lập, hãy giải quyết vấn đề trong $3$ trường hợp: trong trường hợp đó $\alpha < 0$, kết luận bằng cách sử dụng thực tế ở trên rằng $\lim_{n \to \infty} z_n = \infty$, có nghĩa là chuỗi không bị giới hạn. Trong trường hợp đó$\alpha = 0$, kết luận rằng $z_n \to 0$, có nghĩa là chuỗi là hội tụ và do đó có giới hạn. Tương tự, nếu$\alpha > 0$, kết luận rằng $z_n \to 0$, có nghĩa là chuỗi là hội tụ và do đó có giới hạn.

Do đó, chúng tôi kết luận rằng chuỗi bị ràng buộc nếu và chỉ khi $\alpha \geq 0$.