Đơn thức tự nhiên của nhân cặp đồng cấu đơn nguyên giữa các số tự nhiên nhân với các số tự nhiên cộng (tổng các số nguyên tố).

Question

Để cho $M = \Bbb{N}^{\times}$ và $N = (\Bbb{N}\setminus \{1\} \cup \{0\})^+$ là phép nhân, và tương ứng, các số tự nhiên cộng và để $\varphi : M \to N$ được xác định bằng cách lấy $1$ đến $0$ và $\prod_{i} p_i$ đến $\sum_i p_i$ cho bất kỳ tích số nguyên tố của các số nguyên tố $p_i$. Sau đó, chúng tôi rõ ràng đang xem xét một phép đồng cấu đơn hình được xác định rõ ràng.

Xem xét cặp kerenel $\ker \varphi = \{ (x,y) \in M \times M : \varphi(x) = \varphi(y)\}$. Nó định nghĩa một quan hệ đồng dư trên$M$ và vì vậy chúng ta có thể lấy thương số:

$$ M' = M/\ker \varphi $$

Trước tiên, hãy lưu ý rằng những thứ xảy ra chẳng hạn như $\varphi(39) = \varphi(55)$ từ $3 + 13 = 16 = 5 + 11$ vậy nên $\ker \varphi$ quả thực là không tầm thường.

Các bài viết wikipedia trạng thái:

Nó chỉ ra rằng $\ker f$ là một quan hệ tương đương trên $M$, và trên thực tế là một quan hệ đồng dư. Do đó, thật hợp lý khi nói về đơn vị thương số$M/(\ker f)$. Định lý đẳng cấu đầu tiên cho các đơn chất nói rằng đơn chất thương số này là đồng phân tự nhiên với hình ảnh của$f$ (là một submonoid của $N$), (đối với quan hệ đồng dư).

Như vậy $M' \simeq N$, từ $\varphi$là mặt khách quan. Làm thế nào chúng ta có thể dễ dàng thể hiện điều đó$\varphi$là mặt khách quan? Có vẻ như chúng ta có thể sử dụng$(p) + (q) = \Bbb{Z}$ cho hai lý tưởng chính $p,q$ nhưng chúng tôi thực sự không thể vì số nguyên âm sẽ có liên quan.

Answer 1

Nếu $n$ là thậm chí, $n = \varphi(2^{n/2})$ và nếu $n$ là số lẻ, $n = \varphi(2^{(n-3)/2}\times 3)$.