Làm thế nào để chúng tôi đính kèm một $2$-cô?
Đây là một vấn đề từ Tôpô đại số của Hatcher
"Tính toán tương đồng của không gian thu được từ $D^2$ đầu tiên bằng cách xóa phần bên trong của hai đĩa con rời nhau trong phần bên trong của $D^2$ và sau đó xác định tất cả ba vòng tròn kết quả với nhau thông qua các hình đồng vị bảo toàn hướng theo chiều kim đồng hồ của các vòng tròn này. "
Tôi đã tìm thấy một giải pháp ở đây https://web.stanford.edu/class/math215b/Sol4.pdf. Từ bức ảnh, bạn có thể thấy rằng giải pháp sử dụng cấu trúc CW và cho biết$2$-cell $U$ gắn vào từ $aba^{-1}b^{-1}ca^{-1}c^{-1}$. Câu hỏi của tôi là: Tại sao vậy?
Tôi đính kèm có vẻ hợp lý hơn $U$ đến $abab^{-1}cac^{-1}$vì chúng ta muốn cả 3 vòng tròn đều theo chiều kim đồng hồ. Tôi có thể hiểu một cách mơ hồ về quy trình: chúng tôi bắt đầu từ$x$, sau đó chúng tôi đi xung quanh $a$, bây giờ chúng ta đi qua $b$ để đến vòng trong từ vòng ngoài và sau đó chúng ta đi vòng quanh $a$ một lần nữa, sau đó chúng tôi làm tương tự cho $c$. Nhưng tại sao chúng ta lại đi ngược chiều kim đồng hồ khi vào bên trong?
Trả lời
Hãy nghĩ về bạn đang ngồi bên trong $U$và nghĩ về cách ranh giới bao bọc xung quanh. Bạn bắt đầu ở trên cùng$x$ sau đó đi theo chiều kim đồng hồ quanh vòng tròn bên ngoài ($a$), sau đó đi bộ dọc theo đoạn $b$ (bây giờ bạn đã hoàn thành $ab$) sau đó đi bộ ngược chiều kim đồng hồ dọc theo vòng tròn bên trái ($aba^{-1}$), sau đó quay lại $b$ ($aba^{-1}b^{-1}$) Vân vân.
Vấn đề là khi bạn ở trong $U$các lối đi dọc theo các vòng tròn bên trong ngược chiều kim đồng hồ; ngược chiều với hướng đi quanh vòng ngoài. Chỉ cần nhớ rằng nội thất của$U$ luôn ở cùng một phía khi một người đi dọc theo ranh giới của nó.