Spivak's Calculus: Chương 3 Bài toán 24b
24b) Giả sử rằng $f$ là một hàm sao cho mọi số $b$ có thể được viết $b = f(a)$ cho một số thực $a$. Chứng minh rằng có một hàm$g$ như vậy mà $f \circ g = I$
Tôi nghĩ rằng tôi hiểu câu hỏi này và cách giải quyết nó, nhưng tôi đang đấu tranh để tìm cách diễn đạt giải pháp của mình một cách chặt chẽ về mặt toán học, đặc biệt là khi $f$không bị thương. Đây là ý tưởng của tôi:
Trước hết, nếu $f$ là thương tích, sau đó nó là tầm thường.
Để cho $g(x) = a$, Ở đâu $x = f(a)$ bất cứ gì $a \in \text{domain}(f)$
Từ $f$ là sai lầm, theo định nghĩa, chỉ có một giá trị là $a$ điều đó thỏa mãn $x = f(a)$ cho mỗi $x$, nghĩa là $g$được xác định rõ. Và$\text{domain}(g) = \text{image}(f)$ (theo định nghĩa của $g$), mà từ giả định trong câu hỏi là $\mathbb{R}$. Cũng thế,$\text{domain}(f) = \text{image}(g)$, từ $f$ và $g$bị thương (nhưng sự thật đó không quan trọng). Vì thế$f(g(x))$ được định nghĩa cho tất cả $x ∈ \mathbb{R}$. Cuối cùng,$f(g(x))$ = $f(a)$, Ở đâu $x = f(a)$ cho $x ∈ \mathbb{R} \to f(g(x)) = I(x)$.
Nhưng bây giờ nếu $f$không bị thương, nó trở nên phức tạp hơn. Nếu tôi giữ nguyên định nghĩa ban đầu của mình về$g$, là "$g(x) = a$, Ở đâu $x = f(a)$ bất cứ gì $a \in \text{domain}(f)$", thì điều đó không hiệu quả vì $g$không còn là một chức năng. Bởi vì kể từ$f$ không bị thương, tồn tại ít nhất 2 số $z$ và $w$ như vậy mà $z \neq w$ nhưng $f(z) = f(w)$, có nghĩa là có tồn tại $x$ như vậy mà: $g(x) = z = w$.
Tôi nghĩ ý tưởng chỉ đơn giản là xác định lại $g$ chỉ cần "chọn" $z$ hoặc là $w$và gán nó cho $x$. Ví dụ, nó có thể chọn cái nhỏ hơn trong hai cái. Sự khác biệt duy nhất mà điều này sẽ tạo ra bây giờ là$\text{domain}(f) \subset \text{image}(g)$, thay vì $\text{domain}(f) = \text{image}(g)$. Nhưng vì sự thật đó không quan trọng trước đây, nên kết luận trong câu hỏi vẫn được giữ nguyên.
Đây là câu hỏi của tôi. Làm cách nào để tôi viết ra một định nghĩa rõ ràng về$g$ cái đó "chọn" cái nhỏ hơn $z$ hoặc là $w$? Hơn nữa, nhớ lại tồn tại ít nhất 2 số z và w. Có thể có nhiều số hơn tùy ý như vậy$f(z) = f(w) = f(m) = f(n)$và như thế. Và đó chỉ là một trong những nhánh tùy ý các giá trị chung$f$có thể mất. Có thể có một bộ số khác$f(z_2) = f(w_2) = f(m_2)$ và như vậy, không bằng $f(z)$, Vân vân.
Điều này đang bắt đầu rất lộn xộn. Làm thế nào tôi có thể diễn đạt$g$ về mặt toán học?
Trả lời
Sự ngụy biện mà bạn nhận thấy là có thật, rất tốt cho việc phát hiện ra nó! Những gì bạn được yêu cầu hiển thị về cơ bản là tiên đề về sự lựa chọn cho các số thực. Đó là một tiên đề bởi vì bạn không thể chứng minh (phiên bản tổng quát) từ các tiên đề khác của lý thuyết tập hợp, mặc dù nó có vẻ hợp lý.
Vì vậy, bạn có hai lựa chọn:
- Bạn có thể phủ nhận thực tế là định nghĩa của bạn có vấn đề này và về cơ bản nói: "Chà, chỉ cần chọn bất kỳ tùy chọn nào, không có gì lạ khi thấy ở đây."
- Bạn có thể gọi tiên đề về sự lựa chọn. Nó nói (ngay từ bài viết Wikipedia): Đối với bất kỳ gia đình được lập chỉ mục$(S_i)_{i\in I}$ trong số các tập hợp không trống (trong đó $I$ là một số bộ lập chỉ mục) có một gia đình $(x_i)_{i\in I}$ như vậy mà $x_i \in S_i$ Cho mọi $i\in I$. Tôi sẽ giao nó cho bạn để tìm ra cách đạt được yêu cầu của Spivak. (Trên thực tế, công thức yêu thích của tôi về tiên đề lựa chọn về cơ bản là những gì bạn phải chứng minh, nhưng không giới hạn ở các con số.)
Giả sử tồn tại một hàm lựa chọn rõ ràng $C :\mathcal P(\mathbb R) \rightarrow \mathbb{R}$.
Để cho $A \subset \mathbb{R}$. Theo định nghĩa,$C(A) = r$ cho một số $r \in \mathbb{R}$.
Lưu ý rằng nếu $A \subset \mathbb{R}$, sau đó rõ ràng: $\{~~A \setminus C(A)~~\}$ $\subset \mathbb{R}$.
Bây giờ hãy xác định một hàm $A_n : \mathcal P(\mathbb R) \to \mathcal P(\mathbb R)$ đệ quy như sau:
$A_1(A)$ = $A$
$A_2(A)$ = $A_1(~~A_1 \setminus \{C(A_1)\}~~)$
$A_3(A)$ = $A_2(~~A_2 \setminus \{C(A_2)\}~~)$
Vân vân.
Về mặt hình thức:
$A_1(A)$ = $A$
Nếu $A = \emptyset$, Sau đó: $A_n(\emptyset) = \emptyset$
Nếu $A \neq \emptyset$, Sau đó: $A_n(A)$ = $A_{n-1}(~~A_{n-1} \setminus C(A_{n-1}~~)$ $~~~~\forall n \in \mathbb{N}, n > 1$
Về cơ bản những gì tôi đang làm là áp dụng chức năng lựa chọn $C$ đến $A$ để chọn một số thực cụ thể $r_1$ trong $A$, sau đó xác định $A_2$ trở thành tập hợp {$A$ còn thiếu $r_1$}, sau đó áp dụng $C$ đến $A_2$ để chọn một số thực khác $r_2$ trong $A$, sau đó xác định $A_3$ trở thành tập hợp {$A$ còn thiếu ($r_1$ và $r_2$)}, Vân vân.
Ok bây giờ xác định một chức năng khác $Z:A \rightarrow \mathbb{N}$ sử dụng chức năng lựa chọn ban đầu $C$ và cái mới $A_n$ chức năng như vậy:
$Z(r)= \{n, ~where ~r=C(A_n)$
Chức năng này $Z$là rất đặc biệt. Mọi yếu tố$r \in A$ tương ứng với một giá trị duy nhất của $Z(r)$. Nói cách khác,$Z$ có khả năng ánh xạ mọi phần tử của tập hợp con các số thực thành một số tự nhiên duy nhất $n$.
Tôi cảm thấy Cantor sẽ có điều gì đó để nói về điều này ...
Nếu $f$ là một chức năng không bị thương, $f$ có thể được viết như $f = \{(x_1,f_1), (x_2,f_2)\cdots \} + \{(x_{1+i},f_i),(x_{2+i},f_i)\cdots \} + \{((x_{1+2i},f_{2i}),(x_{2+2i},f_{2i})\cdots \} + \cdots$ Ở đâu $(x_{a+bi} = x_{c+di}) \implies (a+bi = c+di)$ và $(f_{a+bi} = f_{c+di}) \implies (a+bi = c+di)$.
Định nghĩa $\hat f = \{(x_1,f_1), (x_2,f_2)\cdots \}$
Định nghĩa $A_n = \{(x_{1+ni},f_{ni}),(x_{2+ni},f_{ni}) \cdots \}$
$\therefore f= \hat f + \sum_{p=1}^Z A_p$, Ở đâu $Z \in \mathbb{N}$ hoặc là $Z = \infty$
Bây giờ sử dụng AoC: Xây dựng một tập hợp mới $\hat A$ trong đó chứa chính xác một cặp có thứ tự $(x_{a+ni},f_{ni})$ từ mỗi $A_n$.
Định nghĩa $f_{\text{injective}} = \hat f + \hat A$
Cuối cùng xác định $g(x) = a$, Ở đâu $(a,x) \in f_{\text{injective}}$