Tầm quan trọng của việc tính gần đúng $\mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $

Question

Để chứng tỏ rằng bộ tạo vô số của chuyển động Brown là $\frac{1}{2}\Delta$, trong câu trả lời này , đầu tiên anh ấy viết phương trình$$ \frac{d}{dt} P_t f(x) = A P_tf(x), \tag{1} $$ sau đó anh ta suy ra giá trị gần đúng sau: $$ \mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $$ Sau đó, người ta lập luận rằng "Từ (1) chúng ta thấy rằng $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ là nghiệm (duy nhất) của phương trình nhiệt "

Như đã thảo luận ở đây , chúng ta không thể đơn giản thay thế giá trị gần đúng vào phương trình nhiệt. Nếu vậy,

1. Tại sao tác giả của bài đăng đó lại đưa ra ước tính này? Làm thế nào anh ta sử dụng ước tính này để chứng minh? nếu anh ấy không sử dụng nó,
2. Ai có thể giải thích thêm lập luận của mình rằng: "Từ (1) chúng tôi thấy rằng $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ là nghiệm (duy nhất) của phương trình nhiệt ... ”?

Answer 1

Sự nhầm lẫn của bạn có thể nảy sinh bởi vì bạn nghĩ rằng bằng cách nào đó, sự gần đúng phục vụ để xây dựng một giải pháp cho phương trình nhiệt. Điều đang xảy ra là bạn bắt đầu với một giải pháp cho một số phương trình vi phân riêng (PDE), và phép gần đúng dùng để xác định PDE này là phương trình nhiệt. Không có bằng chứng nào được đưa ra trong một trong các bài đăng bạn đã liên kết. Chúng chỉ là những lập luận chính thức để giúp phát triển trực giác.

Bắt đầu với câu hỏi thứ hai của bạn. Phương trình (1) là$$\frac{d}{dt}P_t f(x) = A P_t f(x).$$Theo định nghĩa ,$P_t f(x) = \mathbb{E}^x [f(B_t)].$ Cài đặt $u(t,x) = P_t f(x)$ trong phương trình (1), chúng ta có $$\frac{d}{dt} u(t,x) = A u(t, x). \tag{$\ spadesuit$}$$ Đây, $A$ là một toán tử vi phân, vì vậy $u(t,x)$giải một số phương trình vi phân với một số điều kiện ban đầu. Đó là phương trình vi phân nào?

Để đoán nó là phương trình vi phân nào, tính gần đúng$u(t,x) \approx f(x) + t f''(x)/2$Được sử dụng. Đặt nó trực tiếp vào phía bên trái của ($\spadesuit$), bạn tìm $$\frac{d}{dt} u(t,x) = \frac{d}{dt}\left(f(x) + t\frac{f''(x)}{2}\right)=\frac{f''(x)}{2}=Au(t,x).$$ Dựa trên mối quan hệ này, bạn có thể đoán được $A$ Là?