Thành phần của đa thức nguyên và đa thức hữu tỉ với hệ số không nguyên có thể tạo thành đa thức nguyên không?
Chúng ta có thể tìm thấy hai đa thức không $p(x)$ và $q(x)$, Ở đâu $p(x)$ là một đa thức monic không hằng số trên số nguyên và $q(x)$ là một đa thức monic trên các số hữu tỉ có ít nhất một hệ số không nguyên, sao cho thành phần của chúng $p(q(x))$là một đa thức trên số nguyên? Nếu không, làm thế nào để chứng minh nó?
Ví dụ cho $q(x)=x^2+\frac{1}{2}x+1$ và $p(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$, sau đó $p(q(x))=x^6+\frac{3}{2}x^5+\dots$, vì vậy bất kể số nguyên nào $a_i$ta chọn, đa thức thu được sẽ có hệ số không nguyên. Điều kiện về tinh thần rất quan trọng, vì nếu không, chúng ta có thể nhân$p(x)$với số nguyên như vậy sẽ đảm bảo tất cả các hệ số là số nguyên. Tôi đã cố gắng xem xét hệ số trong thành phần của các đa thức tổng quát, mà tôi tin rằng nên làm theo công thức sau:
\ begin {align} [x ^ r] p (q (x)) = \ sum_ {k_1 + 2k_2 + \ dot + mk_m = r} \ sum_ {k_0 = 0} ^ {n- (k_1 + \ dot + k_m)} \ binom {k_0 + k_1 + \ dot + k_m} {k_0, k_1, \ dot, k_m} a_ {k_0 + k_1 + \ dot + k_m} \ left (\ prod_ {j = 0} ^ {m} b_j ^ {k_j} \ right) \ end {align} (tại đây$a_i$ và $b_i$ là các hệ số của $p(x)$ và $q(x)$ với độ $n$ và $m$, tương ứng). Tuy nhiên, không phải là hoàn toàn rõ ràng về hệ số nào để tập trung để chứng minh nó sẽ cho một số không nguyên.
Điều này nảy sinh khi cố gắng giải quyết https://math.stackexchange.com/questions/3785073/infinitely-many-solutions-leads-to-existence-of-a-polynomial, nhưng tự nó có vẻ đủ thú vị.
Trả lời
Trên thực tế, chúng ta có thể bỏ qua giả định rằng $q$là đạo đức. Thành phần$p \circ q$ không thể có tất cả các hệ số nguyên.
Để cho $p$ là một thừa số nguyên tố của một số mẫu số được đơn giản hóa hoàn toàn của một hệ số $q$. Xem xét lớn nhất$k$ st $p^k$ là một thừa số của một số mẫu số của một $q$hệ số. Sau đó viết đa thức$q$ như $x^j w(x) / p^k + s(x)$, trong đó mọi tử số được đơn giản hóa hoàn toàn của $w(x)$ không chia hết cho $p$ và không có mẫu số đơn giản hoàn toàn của $s(x)$ chia hết cho $p^k$, và ở đâu $w$có số hạng không đổi khác 0. Làm điều này bằng cách nhóm tất cả các số hạng có mẫu số chia hết cho$p^k$, thu được $x^j w(x) / p^k$và tất cả các số hạng có mẫu số không chia hết cho $p^k$, thu được $x(x)$.
Để cho $n$ là mức độ của $p$và xem xét hệ số của $x^{jn}$ trong $p \circ q$. Một trong những triệu hồi đóng góp sẽ là$w(0)^n / p^{kn}$, được đơn giản hóa hoàn toàn. Và không có triệu hồi nào khác có thể có mẫu số chia hết cho$p^{kn}$. Vì vậy hệ số này không phải là số nguyên.