Thay đổi hướng tích hợp

Question

Tôi cần thay đổi hướng của tích phân:

$$ \int_0^1 dy \int_{0.5y^2}^{\sqrt{3-y^2}} fdx$$

Từ những gì tôi biết, trước tiên tôi cần tìm các hình dạng:

$0.5y^2 = x$ và $\sqrt{3-y^2} =x$

Hình dạng I là một parabol: $y^2 = 2x$
Hình dạng II là hình tròn $x^2 + y^2 = 3$ (bán kính của $\sqrt{3}$)

Vì vậy, về cơ bản chúng tôi vẽ các mũi tên ngang từ parabol đến hình tròn trong khi chúng tôi giữ $0 \leq y \leq 1$.

Một cái gì đó trông rất giống với bức tranh này:

Chúng ta cần vẽ các đường thẳng đứng, vì vậy nó trông như thế này, nhưng chúng ta có 3 khu vực:

1. Nơi chúng tôi chạm vào parabol (màu đỏ)
2. Nơi chúng tôi đạt được dòng $y=1$ (màu xanh lá)
3. Nơi chúng tôi chạm vào vòng tròn (màu xanh lam)

Và câu trả lời cuối cùng của tôi là:

$$ \int_0^{0.5} dx \int_0^{\sqrt{2x}} fdy + \int_{0.5}^{\sqrt{2}} dx \int_0^1 fdy + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} dx \int_0^{\sqrt{3-x^2}} fdy$$

Tôi đã đúng cho đến nay? Nếu không, thì tôi phải làm thế nào để khắc phục nó? Tôi cảm thấy bế tắc vì tôi không biết làm thế nào để tiếp tục ... Tôi sẽ đánh giá cao sự giúp đỡ của bạn! Cảm ơn!

Answer 1

Những gì bạn đã làm là chính xác. Bạn xong việc rồi.

Kiểm tra hoạt động của bạn, $y=1$ giao nhau $0.5y^2=x$ tại $x=0.5$. (điều này tương ứng với vùng màu cam.$0.5y^2=x$ tương đương với $y=\sqrt{2x}$ khi nào $y>0$.

Cũng thế, $y=1$ giao nhau $\sqrt{3-y^2}=x$ tại $x=\sqrt2$. $\sqrt{3-y^2}=x$ tương đương với $y=\sqrt{3-x^2}$ khi nào $y>0$.

Ranh giới dưới luôn là $y=0$.

Bạn cũng có thể diễn đạt nó một cách ngắn gọn như

$$\int_0^{\sqrt3}\, dx \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy$$

Việc đánh giá thêm phụ thuộc vào chi tiết của $f$. Một trong những động lực có thể có của việc thực hiện thay đổi thứ tự của tích phân là dạng$f$ dễ dàng hơn để tích hợp theo một thứ tự nhất định.

Ghi chú: Tùy thuộc vào thông báo của bạn, một số viết nó là

$$\int_0^{\sqrt3} \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy \, dx$$