tuyến tính endomorphism giữa $V$ và kép của $V$

Question

Để cho $V$ là một không gian vectơ thứ nguyên hữu hạn trên trường $K$. $V^*=\{l:V\to K\}$.

Chứng minh $\operatorname{End}(V)$ tuyến tính đẳng cấu thành $\operatorname{End}(V^*)$.

Cố gắng của tôi: Vì không gian vectơ thứ nguyên hữu hạn $\dim V^*=\dim V$

vì vậy chúng đẳng cấu tuyến tính bởi $\psi:V\to V^*$.

Vì vậy, phần tử đã cho $T\in \operatorname{End}(V)$ chúng tôi có thể tìm ra $\hat{T} = \psi T\psi^{-1}$ rất dễ dàng để kiểm tra đó là một nội cấu tử tuyến tính.

Và bản đồ được đưa vào kể từ khi có $\hat{T}$ chúng ta có thể xây dựng $T=\psi^{-1}\hat{T}\psi \in \operatorname{End}(V)$. Nó bị thương vì$\hat{T} = 0$ ngụ ý $T = 0$ là bản đồ không, vì vậy nó có nhân tầm thường.

Cuối cùng, chúng ta cần thể hiện $\phi:\operatorname{End}(V) \to \operatorname{End}(V^*)$cũng là tuyến tính. I E$\phi(T+S) = \phi(T)+\phi(S)$ theo định nghĩa của $\hat{T}$ nó giữ.

Chứng minh của tôi có đúng không?

Answer 1

Chứng minh của bạn là đúng. Tuy nhiên, có một sự đẳng cấu không gian vectơ khác giữa$\operatorname{End}(V)$ và $\operatorname{End}(V^*)$ điều đó không yêu cầu đẳng cấu $V \rightarrow V^*$. Cụ thể là bản đồ$A \in \operatorname{End}(V)$ đến $A^* \in \operatorname{End}(V^*)$ bằng cách xác định $(A^*\phi)(x) = \phi(Ax)$. Đây,$ x\in V$ và $\phi \in V^*$.

Answer 2

Bạn muốn lập bản đồ $T\colon V\to V$ đến một bản đồ tuyến tính $V^*\to V^*$ và có một cách rõ ràng để làm điều đó, đó là lập bản đồ $T$ chuyển vị của nó $T^*$. Tuy nhiên, điều này xác định một chủ nghĩa phản cấu trúc , bởi vì$(T_1T_2)^*=T_2^*T_1^*$.

Bạn nhận được một đẳng cấu bằng cách sử dụng nó, khi $\dim V=n$, bạn lấy $V\cong M_n(K)$ (chiếc nhẫn của $n\times n$ma trận) thông qua sự lựa chọn của một cơ sở. Quá trình chuyển hóa đẳng cấu kết thúc.