Có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng hàm Lambert W không?

Question

Tôi bắt gặp một phương trình cần phải giải trong khi tôi đang thực hiện một dự án ở trường. Tôi đã thử sử dụng Lambert$W$hàm để giải phương trình sau nhưng tôi đã không thành công. Nó thậm chí có thể giải quyết cho$x$ không có phương pháp số?

$$ ax+(bx-c)e^{kx}=d $$

Answer 1

Có vẻ như không thể giải quyết vấn đề này nói chung bằng cách sử dụng Lambert W. Sẽ có thể nếu $a$ hoặc là $b$ đã $0$.

Bạn có thể thử giải pháp theo chuỗi nếu một trong các tham số có thể được coi là nhỏ. Do đó, một loạt quyền hạn của$k$ Là

$$ x = {\frac {c+d}{a+b}}+{\frac { \left( c+d \right) \left( ac-db \right) }{ \left( a+b \right) ^{3}}}k+{\frac { \left( c+d \right) \left( 3\,a c+ad-bc-3\,db \right) \left( ac-db \right) }{2\, \left( a+b \right) ^ {5}}}{k}^{2}+\ldots $$

Answer 2

Từ quan điểm chính thức, bạn có thể làm được.

Viết lại phương trình dưới dạng $$e^{-kx}=-\frac ba \,\,\frac{x-\frac{b}{c}} {x-\frac{d}{a} }$$trong đó có một giải pháp về mặt hàm Lambert tổng quát .

Chỉ cần nhìn vào phương trình $(4)$ trong bài báo được liên kết.

Điều này là tốt nhưng không phải là rất hữu ích từ quan điểm thực tế.

Vì bạn sẽ cần một phương pháp số, bạn cần ước tính để tìm (các) số 0 của hàm

$$f(x)=ax+(bx-c)e^{kx}-d$$. Đạo hàm đầu tiên$$f'(x)=a+e^{k x} (b k x+b-c k)$$ nó hủy lúc $$x_*=\frac{W\left(t\right)}{k}+\frac{c}{b}-\frac{1}{k}\qquad \text{where} \qquad t=-\frac{a }{b}e^{1-\frac{c k}{b}}$$ Nếu $x_*$tồn tại, thực hiện mở rộng Taylor xung quanh điểm này để nhận được như một ước tính $$x_0=x_* \pm \sqrt{-2 \frac {f(x_*)}{f''(x_*)}}$$

Hãy để chúng tôi thử với $a=1$, $b=2$, $c=3$, $d=4$, $k=5$.

Điều này sẽ cho $$x_*=\frac{1}{10} \left(2 W\left(-\frac{1}{2 e^{13/2}}\right)+13\right)\approx 1.29985$$

Sau đó $x_0=1.58434$ trong khi giải pháp chính xác là $x=1.50069$.

Kể từ khi chúng tôi có $x_0$, chúng ta hãy xem xét phương pháp Newton lặp; họ sẽ được$$\left( \begin{array}{cc} n & x_n \\ 0 & 1.58434 \\ 1 & 1.52533 \\ 2 & 1.50339 \\ 3 & 1.50072 \\ 4 & 1.50069 \end{array} \right)$$