½ + ⅓ + ¼ + ⅕ … = ∞?

Chuỗi phân kỳ là chuỗi trong đó tổng các số hạng không tiến đến một giới hạn xác định, hữu hạn .

Thoạt nhìn, có vẻ như chuỗi điều hòa là hội tụ — các số hạng ngày càng nhỏ hơn và tiến dần đến 0, vì vậy tổng của nó phải tiến đến một giới hạn cố định.

Để chứng minh thêm, tổng của 50 số hạng đầu tiên là một con số khiêm tốn 4,499, trong khi tổng của 1000 số hạng đầu tiên lớn hơn một chút, chỉ là 7,485 . Chắc chắn 100% là không thể khi bạn thêm nhiều số hạng, số tiền tiếp tục lớn hơn.

Tuy nhiên,

Loạt bài này là khác nhau.

Để chứng minh tại sao, chúng ta cần xem xét điều kiện cần đáp ứng để một chuỗi hội tụ — cụ thể là tổng của n số hạng bất kỳ trong chuỗi phải luôn nhỏ hơn giới hạn L .

SO SÁNH

Lần đầu tiên được đề xuất vào năm 1350 bởi Nicole Oresme, điều này dựa vào việc làm tròn mọi số hạng thành lũy thừa gần nhất của ½ .

Vì mỗi số hạng hoặc không thay đổi hoặc được làm tròn xuống, tổng của chuỗi trước khi làm tròn lớn hơn hoặc bằng tổng của chuỗi sau khi làm tròn .

Sau khi làm tròn, tất cả các số hạng giống nhau trong dãy có thể được nhóm lại với nhau. Ví dụ: có 4 số hạng làm tròn xuống ⅛. Tổng của mỗi nhóm này bằng ½.

Điều này dẫn đến một loạt các nhóm vô hạn, mỗi nhóm có tổng bằng ½. Đơn giản hóa điều này, chúng tôi nhận được loạt

Chuỗi này phân kỳ rõ ràng, vì có vô số số hạng, mỗi số bằng ½.

Vì mỗi số hạng của chuỗi điều hòa đều bằng hoặc lớn hơn số hạng tương đương của nó trong chuỗi biến đổi, nên ta có thể chứng minh rằng chuỗi điều hòa cũng phân kỳ và tiến đến vô cùng .

CHỐNG LẠI

Bằng chứng của Pietro Mengoli, có từ thế kỷ 17, dựa trên mâu thuẫn. Đầu tiên, điều quan trọng cần lưu ý là

Điều này có nghĩa rằng

vân vân.

Giả sử rằng chuỗi hội tụ với tổng N. Khi đó,

Mà có thể được viết lại như

Đơn giản hóa hơn nữa sự bất bình đẳng,

N > 1 + N mâu thuẫn với chính nó nên chuỗi điều hòa là phân kỳ và không có tổng mà nó hội tụ.

(Trong trường hợp 2 bằng chứng không đủ để thuyết phục bạn, đây là 20, thông qua Stephen Kifowit và Terra Stamps của Prairie State College)

Tuy nhiên, bằng cách sửa đổi chuỗi, chúng ta có thể thu được một chuỗi không phân kỳ.

Nếu chúng ta giới hạn các số hạng trong chuỗi với những số hạng không có chữ số 9 ở mẫu số, thì chúng ta sẽ có một chuỗi hội tụ.

Chuỗi này, được gọi là chuỗi Kempner , hội tụ đến giá trị trên (làm tròn thành 5 dp).

Thực tế có thể chứng minh rằng

Bằng cách bỏ qua tất cả các giá trị mà mẫu số có bất kỳ chuỗi số cụ thể nào, ví dụ: “314”, có thể thu được một chuỗi hội tụ.

Để được giải thích sâu hơn về lý do tại sao lại như vậy, hãy xem video này.