Ma trận lôgarit của toán tử đạo hàm là gì ( $\ln D$)? Vai trò của toán tử này trong các lĩnh vực toán học khác nhau là gì?
Babusci và Dattoli, Trên lôgarit của toán tử đạo hàm , arXiv: 1105.5978 , cho một số kết quả tuyệt vời:\begin{align*} (\ln D) 1 & {}= -\ln x -\gamma \\ (\ln D) x^n & {}= x^n (\psi (n+1)-\ln x) \\ (\ln D) \ln x & {}= -\zeta(2) -(\gamma+\ln x)\ln x. \end{align*} Tôi tự hỏi, ma trận của nó là gì, hay nói cách khác, có phương pháp nào áp dụng nó vào một hàm không?
Vai trò trực quan của nó trong các lĩnh vực toán học khác nhau là gì?
Trả lời
Khi biến đổi Fourier $x\mapsto k$, điều này trở thành một toán tử đường chéo với các phần tử ma trận $\langle k|\ln D|k'\rangle=2\pi \delta(k-k')\ln k$. Vì vậy, để tìm các phần tử ma trận trong$x$-trình bày chúng ta sẽ cần đảo ngược phép biến đổi Fourier của lôgarit $\ln k$. Từ câu trả lời MSE này cho phép biến đổi Fourier của$\ln |k|$ (với các dấu hiệu giá trị tuyệt đối) Tôi sẽ kết luận rằng $$\langle x|\ln D|x'\rangle=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right).$$
Ký hiệu này có nghĩa là $\ln D$ hành động trên một chức năng $f(x)$ tạo ra một chức năng mới $g(x)$ được cho bởi $$g(x)=\int_{-\infty}^\infty \left[\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) \delta (x-x')+\text{P.V.}\left(\frac{1}{2 (x-x')}-\frac{1}{2 | x-x'| }\right)\right]f(x')\,dx'$$ $$=\left(\frac{i \pi}{2}-\gamma\right) f(x)+\frac{1}{2}\,\text{P.V.}\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{1}{x-x'}-\frac{1}{| x-x'| }\right)\,f(x')\,dx'.$$
Việc giải thích một $\ln(D)$ phụ thuộc vào phép nội suy mà người ta chọn toán tử đạo hàm thông thường và lũy thừa số nguyên dương của nó đối với toán tử đạo hàm tích phân phân số (FID), tức là giải thích $D$lũy thừa bởi bất kỳ số thực nào (hoặc số phức thông qua phép phân tích), do đó, phụ thuộc vào các chức năng mà FID sẽ hoạt động. Phần mở rộng được mô tả dưới đây tạo ra ba đặc điểm nhận dạng B & D và phù hợp với các thuộc tính mà Pincherle áp đặt cho bất kỳ họ FID hợp pháp nào (xem MO-Q này trên đạo hàm 1/2 và MO-Q này trên phép tính phân số ). Nó có thể được định nghĩa bằng hành động trên 'tập hợp cơ sở' của toàn bộ các hàm trong biến phức$\omega$ như
$$D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} ,$$
Ở đâu $H(x)$ là hàm bước Heaviside và $\alpha$ và $\omega$ có thể là bất kỳ số phức nào với cách nhận dạng thông thường trong lý thuyết về các hàm tổng quát và phân phối của
$$(-1)^n \delta^{(n)}(x) = H(x) \frac{x^{-n-1}}{(-n-1)!},$$
với $n=0,1,2,3,...$.
Lưu ý rằng điều này ít liên quan đến biến đổi Fourier trên dòng thực hoặc bất kỳ op / biểu tượng giả khác biệt nào được liên kết với như vậy. Đặc biệt,$D^{\alpha}$ ở đây KHÔNG liên quan đến phép nhân với $(i 2 \pi f)^{\alpha}$trong không gian tần số. Ở những nơi khác, tôi cho thấy các đại diện chập tương đương khác nhau của FID này như 1) FT trên một đường tròn thông qua phép biến đổi tích phân đường bao phức Cauchy chính quy, 2) sự tiếp tục giải tích của đại diện tích phân của hàm Euler beta hoặc thông qua một lần thổi vào mặt phẳng phức của tích phân dọc theo đoạn thẳng thực hoặc chính quy qua phần hữu hạn Hadamard hoặc qua đường bao Pochhammer, 3) phép nội suy Mellin của toán tử đạo hàm chuẩn thông qua hoạt động của hàm sinh$e^{tD_x}$, một ứng dụng toán tử của công thức chính của Ramanujan, hoặc 4) một hàm sinc / nội suy chuỗi con của các hệ số nhị thức tổng quát.
Hãy xem định nghĩa trên về FID khả thi như thế nào; kết nối của nó với bộ tạo vô cực (infinigen) của FID và ba danh tính B & D; mối liên hệ với chủ nghĩa hình thức của chuỗi đa thức Appell Sheffer và do đó, lý thuyết hàm / đa thức đối xứng; và đại diện ma trận của infinigen và FID.
Nếu chúng ta giả định rằng một trình tạo hệ thập phân $IG$ tồn tại như vậy
$$ e^{\alpha \; IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = H(x) \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} = e^{-\alpha D_{\omega}} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!},$$
sau đó chính thức
$$D_{\alpha} \; e^{\alpha IG} \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} |_{\alpha =0} = IG \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \ln(D_x) \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}$$
$$ = D_{\alpha} \; H(x) \; \frac{x^{\omega-\alpha}}{(\omega-\alpha)!} |_{\alpha =0} = -D_{\omega} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$
$$ = [\; -\ln(x) + \psi(1+\omega) \;] H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!} $$
$$ = [ \; -\ln(x) + \psi(1+xD_x) \;] \; H(x) \; \frac{x^{\omega}}{\omega!}, $$
và infinigen là
$$ \ln(D_x) := IG = -\ln(x) + \psi(1+xD_x),$$
Ở đâu $\psi(x)$ là hàm digamma, có thể được định nghĩa trên mặt phẳng phức như một hàm siêu hình và có liên quan mật thiết đến các giá trị của hàm Riemann zeta tại $s = 2,3,4,...$.
Một số đại diện (cung cấp danh tính giống như trong B & D) là
$$IG \; f(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-x|=|x|}\frac{-\ln(z-x)+\lambda}{z-x}f(z) \; dz$$
$$=(-\ln(x)+\lambda) \; f(x)+ \int_{0}^{x}\frac{f\left ( x\right )-f(u)}{x-u}du$$
$$ = [\; -\ln(x)+ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \beta}\ln[\beta!]\mid _{\beta =xD} \; ] \; f(x)=[ \; -\ln(x)+\Psi(1+xD) \;] \; f(x)$$
$$ = [ \; -\ln(x)+\lambda - \sum_{n=1}^{\infty } (-1)^n\zeta (n+1) \; (xD)^n \;] \; f(x)$$
Ở đâu $\lambda$ có liên quan đến hằng số Euler-Mascheroni qua $\lambda=D_{\beta} \; \beta! \;|_{\beta=0}$.
Các đại diện khác và các cách khác để đến các đại diện ở trên được đưa ra trong các giới thiệu dưới đây.
Chúng ta hãy xem xét một cách thông qua chủ nghĩa hình thức của chuỗi đa thức Appell Sheffer, giải quyết bất kỳ vấn đề nào về hội tụ khi tính lũy thừa của công thức diff op rõ ràng cho infinigen và cho phép kết nối với lý thuyết về đa thức / hàm đối xứng.
Chuỗi Appell có liên quan của các đa thức $p_n(z) = (p.(z))^n$ có hàm tạo hàm mũ, toàn bộ trong biến phức $t$, tức là, với chuỗi Taylor hội tụ toàn cầu,
$$\frac{1}{t!} \; e^{zt} = e^{a.t} \; e^{zt} = e^{(a.+z)t} = e^{p.(z)t} = \sum_{n\geq 0} p_n(z) \frac{t^n}{n!}$$
với dãy đa thức tương hỗ được xác định theo bốn cách nhất quán $\hat{p}(z)$
1) $t! \;e^{zt} = e^{\hat{a}.t} \; e^{zt} = e^{(\hat{a}.+z)t} = e^{\hat{p}.(z)t} $, một ví dụ,
2) $M_p \cdot M_{\hat{p}} = I $, về ma trận hệ số tam giác dưới của hai dãy trong cơ sở lũy thừa đơn thức $z^n$ với đường chéo đơn vị,
3) $p_n(\hat{p}.(z)) = \hat{p}_n(p.(z)) = (a. + \hat{a.}+z)^n = 1$, một sự đảo ngược tích tụ thanh mảnh,
4) $D_z! \; z^n = e^{\hat{a.}D_z} \; z^n = (\hat{a.}+z)^n = \hat{p}_n(z)$, một máy phát điện hoạt động.
Theo sau đó là op nâng cao của các đa thức Appell $p_n(z)$ Được định nghĩa bởi
$$R_z \; p_n(z) = p_{n+1}(z)$$
được đưa ra bởi
$$ R_z \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! \; p_n(z) = \frac{1}{D_z!} \; z \; p_n(\hat{p}.(z))$$
$$ = \frac{1}{D_z!} \; z \; z^n = \frac{1}{D_z!} \; z^{n+1} = p_{n+1}(z),$$
một phép liên hợp toán tử, hoặc 'phép biến đổi thước đo', của toán tử tăng $z$ cho các đơn thức lũy thừa.
Ngoài ra, với công tắc điều hành $[A,B] = AB - BA$,
$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! .$$
Bây giờ, hãy nhập lại Pincherle và đạo hàm toán tử cùng tên, mà Rota đã giới thiệu cho phép tính toán tử hữu hạn. Đạo hàm Graves-Pincherle lấy sức mạnh của nó từ cổ góp Graves-Lie-Heisenberg-Weyl$[D_z,z] = 1$ mà từ đó, bằng cách sắp xếp lại bình thường, ngụ ý cho bất kỳ chức năng nào được biểu thị dưới dạng chuỗi công suất trong $D_z$
$$[f(D_z),z] = f'(D_z) = D_t \; f(t) \; |_{t = D_z}.$$
Đây là hình đại diện của phái sinh Pincherle (PD) theo sau từ hành động $$[D^n,z] \; \frac{z^{\omega}}{\omega!} = [\;\frac{\omega+1}{(\omega+1-n)!} - \frac{1}{(\omega-n)!}\;] \; z^{\omega+1-n} = n \; D_z^{n-1} \; \frac{z^{\omega}}{\omega!},$$
nhưng PD có giá trị cho các hoạt động hạ thấp và nâng (bậc thang) tổng quát hơn đáp ứng $[L,R]= 1$.
Sau đó
$$R_z = \frac{1}{D_z!} \; z \; D_z! = z + [\frac{1}{D_z!},z] \; D_z! = z + D_{t = D_z}\; \ln[\frac{1}{t!}] $$
$$ = z - \psi(1+D_z).$$
Với sự thay thế $ z = \ln(x)$
$$R_z = R_x = \ln(x) - \psi(1+ x D_x) = -IG = -\ln(D_x).$$
Hoạt động huy động vốn được định nghĩa sao cho
$$ e^{t \; R_z} \; 1 = \sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!} R_z^n \; 1 = e^{tp.(z)} = \frac{1}{t!} \; e^{zt},$$
toàn bộ chức năng cho $t$phức tạp; vì thế,
$$e^{-t \; IG} \;1 = e^{t \;R_x} \; 1 = e^{t \; p.(\ln(x))} = \frac{x^t}{t!},$$
vì thế
$$e^{-(\alpha+\beta) \; IG} \;1 = e^{(\alpha+\beta) \; R_x} \; 1 = e^{(\alpha+\beta) \; p.(\ln(x))} = \frac{x^{\alpha+\beta}}{(\alpha+\beta)!}, $$
$$ = e^{-\alpha \; IG} e^{-\beta \; IG} \;1 = e^{-\alpha \; IG} \; \frac{x^\beta}{\beta!} , $$
và chúng tôi có thể xác định rằng thực sự
$$e^{-\alpha \; IG} = D_x^{-\alpha}$$
và
$$IG = \ln(D_x).$$
Bây giờ áp dụng PD cho $\ln(D)$, như một sự kiểm tra về tính hình thức và là con đường dẫn đến một đại diện ma trận, chính thức đưa ra
$$ [\ln(D),x] = [\ln(1-(1-D)),x] = \frac{1}{1-(1-D)} = \frac{1}{D} = D^{-1}.$$
Điều này được đưa ra một ý nghĩa rõ ràng bằng cách đánh giá cổ góp cho một chức năng chung $g(x)$ phân tích tại gốc (tổng quát thành tập hợp 'cơ sở' của chúng tôi) bằng cách sử dụng đại diện tích phân cho $R_x = -\ln(D_x)$, cho
$$[\ln(D_x),x] \; g(x) = [-R_x,x] \; g(x) = (-\ln(x)+\lambda) \; [x,g(x)]$$
$$ + \int_{0}^{x}\frac{xg(x)-ug(u)}{x-u} \; du - x \int_{0}^{x}\frac{g(x)-g(u)}{x-u} \; du$$
$$ = \int_{0}^{x} \; g(u) \; du = D_x^{-1} g(x).$$
Vì vậy chúng tôi có
$$[\ln(D_x),x] = [-R_x,x] = D_x^{-1} = [-\ln([-R_x,x]),x]$$
và
$$-R_x = \ln(D_x) = -\ln(D_x^{-1}) = -\ln([-R_x,x]),$$
ngụ ý
$$e^{R_x} =\exp[\ln([-R_x,x])] = [-R_x,x] = D_x^{-1}.$$
Ngoài ra, với
$$\bigtriangledown^{s}_{n} \; c_n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \binom{s}{n}c_n,$$
sau đó
$$R_x = -\ln(D_x) = \ln(D_x^{-1}) = \ln[1-(1-D_x^{-1})]$$
$$ = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k}, $$
Ở đâu
$$D_x^{-1} \frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{x^{\omega+1}}{(\omega+1)!}.$$
Chuỗi op sai khác hữu hạn được nhúng trong đạo hàm $D_{\alpha =0}$của bộ nội suy Newton
$$ \frac{x^{\alpha+\omega}}{(\alpha+\omega)!} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k}\frac{x^{\omega+k}}{(\omega+k)!}$$
$$ = \bigtriangledown^{\alpha}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \;\frac{x^{\omega}}{\omega!}$$
$$ = [1-(1-D_x^{-1})]^{\alpha} \; \;\frac{x^{\omega}}{\omega!} = D_x^{-\alpha}\;\frac{x^{\omega}}{\omega!}. $$
Đối với $\alpha = -m$ với $m = 1,2,...$ và $\omega = 0$, bộ nội suy Newton này cho
$$D^m_x \; H(x) = \delta^{(m-1)}(x) = H(x) \; \frac{x^{-m}}{(-m)!} = \bigtriangledown^{-m}_{n}\bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} \; H(x)$$
$$ = \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \bigtriangledown^{n}_{k} \; H(x) \frac{x^k}{k!} = H(x) \; \sum_{n \geq 0} (-1)^n \binom{-m}{n} \; L_n(x)$$
$$ = H(x) \; \sum_{n \geq 0} \binom{m-1+n}{n} \; L_n(x), $$
đồng ý theo nghĩa phân phối với các giải pháp đa thức Laguerre của $f(x) = \delta^{(m-1)}(x)$trong các công thức của MO-Q này kể từ, với$c_n = f_n$ trong ký hiệu ở đó,
$$ f(x) = \sum_{n \geq 0} c_n \; L_n(x)$$
với
$$\sum_{n \geq 0} t^n \; c_n = \frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} e^{-x} \sum_{n \geq 0} t^n \; L_n(x) f(x) \; dx$$
$$ = \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx,$$
vì vậy, cho $m$- đạo hàm thứ của hàm Heaviside,
$$\frac{1}{1-c_{m,.}t}= \int_0^{\infty} e^{-x} \frac{e^{-\frac{t}{1-t}x}}{1-t} f(x) \; dx = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \delta^{(m-1)}(x) \; dx = \frac{1}{(1-t)^{m}},$$
và do đó, các hệ số của độ phân giải chuỗi Laguerre của $m$Đạo hàm -th của hàm Heaviside là
$$c_{m,n} =(-1)^n \binom{-m}{n} = \binom{m-1+n}{n},$$
phù hợp với bộ nội suy Newton.
Đang áp dụng $D_x^{-1}$ lặp đi lặp lại cả hai mặt của nhận dạng này thiết lập các phép nội suy hội tụ cho $\omega = 1,2,3,...$và hoạt động trên cơ sở lũy thừa trong khai triển nhị thức của $\frac{x^{\omega}}{\omega!} = \frac{(1-(1-x))^{\omega}}{\omega!}$ nên cũng cho biểu thức hội tụ.
Tương tự cho $\omega=0$, chúng ta có phép biến đổi Laplace (hoặc chính xác hơn, phép biến đổi Mellin được sửa đổi làm trung tâm cho công thức chính của Ramanujan, qua đó FID có thể được sử dụng dưới dạng nội suy Mellin của các dẫn xuất chuẩn)
$$\frac{1}{1-c.t} = \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{1-t}x}}{1-t} \frac{x^{\alpha}}{\alpha!} \; dx = (1-t)^{\alpha},$$
cho $Re(\alpha) > -1$, cho
$$c_n = (-1)^n \binom{\alpha}{n}.$$
Biến đổi Laplace này và do đó, bộ nội suy Newton có thể được tiếp tục giải tích theo một số cách tiêu chuẩn (ví dụ, thổi từ đường thực đến mặt phẳng phức thông qua đường bao Hankel , phần hữu hạn Hadamard ) đến mặt phẳng phức đầy đủ cho$\alpha$. Đối với số mũ nguyên âm, đường bao Hankel hợp đồng với đại diện đường bao Cauchy thông thường để phân biệt. Cách tiếp cận Hadamard-phần hữu hạn cho phép bộ nội suy Newton được sửa đổi từng dải một cách thích hợp để đưa ra kết quả dự kiến.
Quay trở lại đại diện chênh lệch hữu hạn cho $\ln(D_x)$, hành động của infinigen trên 1 sau đó cho, cho $x > 0$,
$$\ln(D_x) 1 = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} D_x^{-k} 1$$
$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} \frac{x^k}{k!}$$
$$ = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; L_n(x) = -\ln(x)-.57721... , $$
Ở đâu $L_n(x)$ là các đa thức Laguerre, phù hợp với phương trình đầu tiên của B & D trong câu hỏi.
Đồ thị kết quả đánh giá chuỗi toán tử bị cắt ngắn tại $n=80$hoặc như vậy, hành động trên $x^2$ và $x^3$ phù hợp với kết quả phân tích.
Đại diện ma trận $M$ hành động của hoạt động tích hợp này $D_x^{-1}$ trên $x^n$ là đủ đơn giản trong cơ sở lũy thừa - một ma trận với tất cả các số không ngoại trừ khối phụ đầu tiên, hoặc bội giác, tùy thuộc vào phép nhân ma trận trái hoặc phải, với các phần tử $(1,1/2,1/3,...)$.
Đại diện ma trận cho $R_x$ sau đó là
$$ R_M = \ln[I-(I-M)] = - \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n} \; \bigtriangledown^{n}_{k} M^k. $$
Luỹ thừa,
$$D_x^{-\beta} = \exp(-\beta R_x)= (1-(1-D_x^{-1} ) )^{\beta} = \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} (D_x^{-1})^k.$$
Đại diện ma trận được liên kết là
$$ \exp(-\beta R_M)= \bigtriangledown^{\beta}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} M^k.$$
(Tôi đã không kiểm tra các phép tính ma trận này bằng số như tôi thường làm vì đĩa MathCad của tôi đang được lưu trữ ở trạng thái khác.)
Để hoạt động trên các lũy thừa không phải số nguyên của $x$, bạn phải biểu diễn chúng dưới dạng chồng chất của cơ sở lũy thừa số nguyên như trong khai triển nhị thức
$$x^{\alpha} = [1 - (1-x)]^{\alpha} = \bigtriangledown^{\alpha}_{n} \bigtriangledown^{n}_{k} x^k .$$
Ngoài ra, quay trở lại $z$ đại diện và viết ra đại diện ma trận của hoạt động nâng cao $R_z$. Đây là một phép biến đổi đơn giản của ma trận Pascal tam giác dưới vô hạn được tăng cường với một siêu bội đầu tiên của tất cả các ma trận. OEIS A039683 có một ví dụ về ma trận tương đương với op nâng cao trong cơ sở lũy thừa đơn thức, còn được gọi là ma trận sản xuất theo cách tiếp cận khác (Riordan?) Đối với chuỗi đa thức. Tốt hơn trong trường hợp này là chuyển sang cơ sở phân chia quyền lực$z^n/n!$. Khi đó ma trận Pascal tăng cường trở thành ma trận tổng đơn giản của tất cả các ma trận. Nhân dọc theo đường chéo thứ n với$c_n$ Ở đâu $(c_0,c_1,..) = (1-\lambda,-\zeta(2),...,(-1)^k \; \zeta(k+1),...)$ để tạo đại diện ma trận cho op nâng cao, nhưng vì, ví dụ: $x^2=e^{2z}$, điều này nhanh chóng trở thành một thuật toán lộn xộn để áp dụng so với đại diện chênh lệch hữu hạn.
Tham khảo thêm (không đầy đủ):
- Riemann zeta và phép tính phân số, một MO-Q
- Hàm Digamma / Psi, Wiki
- OEIS A238363 trên nhật ký của toán tử phái sinh
- OEIS A036039 về đa thức chỉ số chu kỳ và hàm đối xứng
- Hàm Zeta và đa thức chỉ số chu kỳ, MO-Q
- Về lựa chọn nâng cao FID, một MSE-Q
- OEIS A132440 trên ma trận infinigen
- OEIS A263634 trên đại diện đa thức phân vùng cho hoạt động nâng cao Appell
- Tham khảo một phần xen kẽ khác của nhật ký dẫn xuất, một bản pdf
- Sự tiếp tục của phép nội suy / phân tích của các nguyên tố đối với gamma fct, MSE-Q
- Nâng cao hoạt động cho chuỗi Appell, một bài đăng trên blog
- Ví dụ về phép nội suy Mellin của $e^{tD}$, MO-Q
- Thông tin thêm về việc tiếp tục nội suy / phân tích của các hoạt động vi phân, một bài đăng trên blog
- Hai phép phân tích liên tục của các hệ số của một hàm sinh, MO-Q
- FID và các hàm siêu hình hợp lưu, MO-Q
- Lưu ý về phái sinh Pincherle, một bài đăng trên blog
- FID và phép nội suy các hệ số nhị thức, một bài đăng trên blog
- FID, nội suy và sóng du lịch, một bài đăng trên blog