Chứng minh rằng một dãy $\{a_n\}_n$Được định nghĩa bởi $a_1=-\frac14$và $-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4$là hội tụ và tìm giới hạn của nó.

Question

Tôi muốn xác minh nỗ lực và suy luận của tôi. Nhiệm vụ như sau:

Chứng minh rằng một dãy$\{a_n\}_n$Được định nghĩa bởi$a_1=-\frac14$và$$-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4$$là hội tụ và tìm giới hạn của nó.

Đây là những gì tôi có cho đến nay:

$$-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4\iff a_{n+1}(a_n+4)+4=0\tag 1$$

Tôi đã tính toán một số thuật ngữ:

$a_2(a_1+4)=-4\implies a_2=-\frac{16}{15}\\a_3(a_2+4)=-4\implies a_3=-\frac{15}{11}\\a_4(a_3+4)=-4\implies a_4=-\frac{44}{29}$

Tôi giả định$a_n<0\quad\forall n\in\Bbb N$.

Sau đó, từ$(1)$và$a_{n+1}<0$, nó theo sau

$\begin{aligned}a_{n+1}(a_n+4)&=-4\\\implies a_n+4&>0\\\implies a_n&>-4\end{aligned}$

Sau đó, theo quy luật, nếu$\,0>a_1>\ldots>a_{m-1}>a_m$cho một số$m\in\Bbb N,$chúng ta có$\begin{aligned}a_{m-1}+4&>a_m+4>0\\\implies \frac1{a_{m-1}+4}&<\frac1{a_m+4}\\\implies \color{red}{a_m}=-\frac4{a_{m-1}+4}&>-\frac4{a_m+4}=\color{red}{a_{m+1}}\end{aligned}$

Vì vậy, trình tự$\{a_n\}_n$là đơn điệu và có giới hạn và do đó, hội tụ.

Ngoài ra, chúng tôi có thể chứng minh một tuyên bố mạnh mẽ hơn:

$a_n>-2\quad\forall n\in\Bbb N$.

$$\begin{aligned}a_n+4&>-2+4=2>0\\\implies -\frac1{a_n+4}&>-\frac12\\\implies a_{n+1}=-\frac4{a_n+4}&>-\frac42=-2\end{aligned}$$

Cắm giới hạn vào$(1)$, chúng tôi nhận được$$L^2+4L+4=(L+2)^2=0\iff L=-2$$

Kể từ đây,$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=-2$.

Có bất kỳ sai lầm nào trong các giả định và kết luận của tôi không và tôi có nên thực hiện bất kỳ bước nào theo một trình tự khác không?

Tôi biết tôi không thể chứng minh$a_n<0\quad\forall n$bằng cách cảm ứng kể từ khi chức năng$f:\Bbb R\setminus\{-4\}\to\Bbb R\setminus\{0\}$Được định nghĩa bởi$$f(x)=-\frac4{x+4}$$không đơn điệu trên toàn bộ miền, chỉ trên$(-\infty,-4)$và$(-4,+\infty)$riêng biệt.

Ngoài ra, khi tôi cân nhắc viết$a_n=\frac{x_n}{y_n}$và sau đó$$\begin{aligned}a_{n+1}&=\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}\\&=-\frac4{\frac{x_n}{y_n}+4}\\&=\frac{-4y_n}{x_n+4y_n}\end{aligned}$$và giả định$x_{n+1}=-4y_n$và$y_{n+1}=x_n+4y_n$, Tôi đã nhận được lặp lại đồng nhất$$\begin{aligned}y_{n+1}&=-4y_{n-1}+4y_n\\\iff y_{n+1}-4y_n+4y_{n-1}&=0\end{aligned}$$với một đa thức đặc trưng$$\lambda^2-4\lambda+4=(\lambda-2)^2$$với nhiều gốc, vì vậy tôi nghĩ rằng tôi sẽ phức tạp hóa.

Cám ơn rất nhiều!

Answer 1

$$-4A_{n+1}=A_n A_{n+1}+4$$

Để cho$A_n=\frac{B_{n-1}}{B_n}$ $$-4\frac{B_n}{B_{n+1}}=\frac{B_{n-1}}{B_n} \frac{B_n}{B_{n+1}}+4$$ $$\implies 4B_{n+1}+4 B_n+B_{n-1}=0$$Để cho$B_n=t^n$, sau đó$$\implies 4t+4+t^{-1}\implies t=-1/2.$$sau đó$B_n=(Pn+Q)(-2)^{-n}$,$$ A_n=-2\frac{P(n-1)+Q}{Pn+Q}=-2\frac{n-1+R}{n+R}$$ $$A_1=-1/4 \implies R=1/7.$$Cuối cùng, chúng tôi có giải pháp để$(1)$bằng$$A_n=\frac{12-14n}{7n+1} \implies \lim_{n \to \infty}A_n=-2.$$