Người ta có thể mô tả đặc điểm của các anton cực đại theo các mạng phân bố không?
Điều này được lấy cảm hứng từ câu hỏi gần đây Xác minh một chất chống đông tối đa
Tính đối ngẫu nổi tiếng giữa các vị trí hữu hạn và mạng tinh thể phân bố hữu hạn có một số công thức đẹp. Một trong số chúng chỉ định cho một poset$P$ mạng tinh thể $\mathscr D\!P$của nó downdeals (Tôi như từ này được phát minh, tôi nghĩ rằng, bởi Freyd). Một sự phản đối của$P$ một tập hợp con $D\subseteq P$ thỏa mãn $p\leqslant q\in D$ $\Rightarrow$ $p\in D$. Đây là một mạng phân phối (có giới hạn) liên quan đến các phép toán liên hợp và giao nhau. Ngược lại với mạng tinh thể phân bố hữu hạn$L$ một người chỉ định poset $\Pi\!L$trong số các số nguyên tố của nó . Một yếu tố$p\in L$ là nguyên tố nếu $x\land y=p$ ngụ ý $x=p$ hoặc là $y=p$và các số nguyên tố được sắp xếp theo tính chất chia hết: $p\leqslant q$ iff $p$ phân chia $q$, biểu thị $p|q$ I E $\exists x\ q=p\land x$, hoặc tương đương chỉ $p\land q=q$. Điều này có vẻ giống như một phép nhân bản quá mức trong đó nó đảo ngược thứ tự được kế thừa từ$L$, nhưng chỉ là vấn đề thuận tiện: bạn luôn có thể chuyển sang tất cả các loại định nghĩa tương đương, chẳng hạn như đảo ngược thứ tự trong $P$ hoặc trong $L$, thay thế các số nguyên tố bằng các số nguyên tố nối, hoặc chuyển đến phần bổ sung của các số phụ, là các dấu thăng , hoặc cả hai, v.v., v.v.
Tính hai mặt nói lên hai điều. Đầu tiên, rằng mọi$L$ có thể được xác định bằng mạng tinh thể các số nguyên tố của nó, tức là một phần tử $x\in L$ được xác định duy nhất bởi các ước số nguyên tố của nó, $D_x:=\{p\in\Pi\!L\mid\exists y\ x=p\land y\}$; nói cách khác, mọi$x$là sự gặp gỡ của các ước số nguyên tố của nó. Hơn nữa, mỗi lần phản đối$D$ của $\Pi\!L$ Là $D_x$ cho một sự độc đáo $x\in L$, cụ thể là, cho $x=\bigwedge D$.
Thứ hai, tính hai mặt nói rằng mọi vị trí $P$ có thể được xác định bằng tập hợp các số nguyên tố của $\mathscr D\!P$. Cụ thể,$p\in P$ trở nên đồng nhất với $\not\uparrow\!\!p:=\{q\in P\mid p\not\leqslant q\}$ và mỗi nguyên tố của $\mathscr D\!P$ Là $\not\uparrow p$ cho một sự độc đáo $p\in P$. hơn thế nữa$p\leqslant q$ iff $\not\uparrow\!\!p\subseteq\not\uparrow\!\!q$.
Bây giờ cho một poset hữu hạn $P$, các chỉ số phụ của nó ở dạng tương ứng một đối một với các dấu ngoặc kép của nó: đến một lời kêu gọi tắt $D$ một người chỉ định thuốc chống hain $\max\!D$ trong số các yếu tố tối đa của nó, và một chất chống hain $\alpha\subseteq P$ sự suy thoái $\downarrow\!\alpha$ trong số các yếu tố dưới đây $\alpha$, $\{p\mid\exists\ q\in\alpha\ p\leqslant q\}$.
Câu hỏi của tôi là: liệu người ta có thể mô tả một cách trừu tượng, về mặt đại số, mà không bị hấp dẫn bởi tính hai mặt này, những phần tử của một mạng tinh thể phân bố hữu hạn không $L$cái nào tương ứng với các nếp gấp cực đại của vị trí kép của nó?
Rõ ràng hơn (tôi hy vọng tôi đã không mắc bất kỳ sai lầm nào khi dịch nó): có một đặc điểm đại số thuần túy, không đề cập đến số nguyên tố, của những $a\in L$ với tài sản dành cho bất kỳ nguyên tố nào $p\notin D_a$ có một nguyên tố $p'\in\max D_a$ với $p'|p$?
Đối với câu hỏi đầy cảm hứng đó, chúng ta thực sự chỉ cần xem xét các mạng phân bố hữu hạn tự do , có nghĩa là chỉ xem xét các vị trí$P$là các tập hợp đầy đủ của một tập hợp hữu hạn nào đó, được sắp xếp theo thứ tự bao gồm. Dường như không biết nhiều về bản chất của tập hợp tất cả các dấu giáp cực đại trong một bộ lũy thừa. Theo OEIS , trình tự của những điều này bắt đầu như$1,2,3,7,29,376,31764,...$
Câu hỏi Lập bản đồ về lớp của tất cả các vị trí hữu hạn đến từ các hàm chống có kích thước tối đa dường như có liên quan rất chặt chẽ với nhau, nhưng một câu hỏi liên quan đến các phản mã có kích thước lớn nhất có thể, trong khi câu hỏi của tôi là về tất cả các vị trí chống cực đại, tức là các phản mã không có trong bất kỳ bộ chống đông nào khác. Rõ ràng các bộ chống dây như vậy có thể có nhiều kích cỡ khác nhau nói chung, nói riêng trong các bộ nguồn. Ví dụ, cả hai yếu tố chống lại hain$\{\{1\},\{2\}\}$ và một yếu tố chống lại hain $\{\{1,2\}\}$ là những dấu ngoặc kép tối đa trong bộ quyền hạn của $\{1,2\}$.
Trả lời
Đây là mô tả (wiki cộng đồng) về một câu trả lời có thể có, chứ không phải chính câu trả lời. Mọi người được mời thử và biến điều này thành một câu trả lời thực sự. Hoặc (rõ ràng) từ bỏ nó và viết câu trả lời thực sự thực sự.
Richard Stanley giải thích trong một bình luận rằng dấu ngoặc kép cực đại $A$ của $P$ ở dạng tương ứng 1-1 với các khoảng boolean tối đa là $\mathscr D\!P$.
Nói chung, cho $D'\subseteq D$ với $D,D'\in\mathscr D\!P$, có thể dễ dàng nhận thấy rằng khoảng thời gian $[D',D]$ mạng tinh thể là đồng phân hình với $\mathscr D(D\setminus D')$, Ở đâu $D\setminus D'$ là tập hợp con của $P$với thứ tự từng phần cảm ứng. Vì thế$[D',D]$ là boolean nếu và chỉ khi $D\setminus D'$ là một chất chống hain.
Ngược lại, bất kỳ chất chống hain nào $A\subseteq P$ làm phát sinh khoảng boolean như vậy, với $D=\downarrow\!A$ và $D'=D\setminus A$. Và (rõ ràng chứ?) Các dấu giáp cực đại tương ứng với các khoảng boolean cực đại.
Bây giờ có một công trình mà tôi đã thấy lần đầu tiên được thực hiện bởi Harold Simmons. Đối với một phần tử$a$ trong bất kỳ đại số Heyting hoàn chỉnh nào, hãy $$ \tau a=\bigwedge\{b\geqslant a\mid b\to a=a\}. $$ Sau đó $[a,\tau a]$ là khoảng boolean lớn nhất với đáy $a$.
Rõ ràng trong một đại số co-Heyting hoàn chỉnh có một toán tử được xác định hợp lệ $\delta$ như vậy mà $[\delta b,b]$ là khoảng boolean lớn nhất với đỉnh $b$.
Thí dụ. Trong mạng tinh thể của các tập hợp đóng của một không gian tôpô,$\delta$là dẫn xuất Cantor-Bendixson. Đó là, đối với một tập hợp đóng$C$, $\delta C$ là tập hợp các điểm giới hạn của nó.
Vì vậy, nếu chúng ta đang ở trong một đại số bi-Heyting hoàn chỉnh, cả hai toán tử đều có sẵn và một khoảng $[a,b]$ là boolean tối đa nếu và chỉ khi $a=\delta b$ và $b=\tau a$.
Điều này dường như ngụ ý rằng cả hai yếu tố $a$ thỏa mãn $\delta\tau a=a$ và các yếu tố $b$ thỏa mãn $\tau\delta b=b$bằng cách nào đó sẽ tương ứng với các dấu chống cực đại. Cụ thể, trong trường hợp khi đại số của chúng ta là$\mathscr D\!P$ cho một số poset $P$, sau đó $\tau\delta D=D$ cho $D\in\mathscr D\!P$ nên có nghĩa là $\max D$ là một chất chống hain tối đa, trong khi $\delta\tau D=D$ nên có nghĩa là $\min(P\setminus D)$ là một chất chống đông tối đa.