Giải quyết thế nào $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+n+1}-\sqrt{n^2-n+2}}$ mà không có L'Hopital?

Question

$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+n+1}-\sqrt{n^2-n+2}}$
$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[6]{(n^3+n+1)^2}-\sqrt[6]{(n^2-n+2)^3}}$ nhưng vì giới hạn này vẫn là loại $\frac{1}{\infty-\infty}$ Tôi đã cố gắng làm điều này:
$\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[6]{(n^3+n+1)^2}+\sqrt[6]{(n^2-n+2)^3}}{(n^3+n+1)^2-(n^2-n+2)^3} = \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[6]{(n^3+n+1)^2}+\sqrt[6]{(n^2-n+2)^3}}{3n^5-7n^4+15n^3-17n^2+14n-7}$

Tôi hoàn toàn mắc kẹt ở đây. Tôi sẽ chia phân số cho$3n^5$ và sau đó giải pháp là $0$. Không phải là câu trả lời chính xác. Tôi đã bỏ lỡ điều gì đó?

Answer 1

giải pháp nhanh, như một ý tưởng khác$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+n+1}-\sqrt{n^2-n+2}}=\\ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+0n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+2}}=\\ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{(n+0)^3-0+0n^2+n+1}-\sqrt{(n-\frac12)^2-\frac14+2}}=\\ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n-(n-\frac12)}=\\2$$

NHẬN XÉT: $$n^3+an^2+bn+c=\\(n+\frac a3)^3-(3n^2.\frac a3+3n(\frac a3)^2+(\frac a3)^3)+bn+c\\(n\to \infty) \implies n^3+an^2+bn+c\sim (n+\frac a3)^3 $$ vì thế $$n^3+n+1=(n+0)^3-0^3+n+1$$ cũng cho $n^2+an+b=(n+\frac a2)^2-(\frac a2)^2+c$

Answer 2

định lý nhị thức cho số mũ hữu tỉ:

(1 + n) ^ (1/3) = 1 + n / 3 + ... (1 + n) ^ (1/2) = 1 + n / 2 + ...

s1 = (n ^ 3 + n - 1) ^ (1/3) = [n ^ 3 (1+ 1 / n ^ 2 + ...)] ^ (1/3) = n (1+ 1 / ( 3 n ^ 2) ...) s2 = (n ^ 2 -n + 2) ^ (1/2) = [n ^ 2 (1- 1 / n ^ 2 + ...)] ^ (1/2 ) = n (1 -1 / (2n) ...) s1-s2 = 1 / (3n) + 1/2 ...

lim 1 / (s1-s2) = 2

n-> vô cùng

Answer 3

Luôn cố gắng đơn giản hóa các phép tính đại số theo cách giảm thiểu nỗ lực đánh máy và sự lộn xộn về hình ảnh.

Rõ ràng chúng ta có thể lấy $n$ chung từ cả hai thuật ngữ ở mẫu số và do đó mẫu số có thể được viết là $n(a-b) $ nơi cả hai $a, b$ có xu hướng $1$. Hơn nữa, chúng ta có thể thấy rằng$a^3,b^2$ là hoàn toàn tự do và do đó chúng tôi có $$n(a-b) =n(a-1-(b-1))=n\left((a^3-1)\cdot\frac{a-1}{a^3-1}-(b^2-1)\cdot\frac{b-1}{b^2-1}\right)\tag{1}$$ Chỉ cần lưu ý rằng $$n(a^3-1)=n\left(\frac{1}{n^2}+\frac {1}{n^3}\right)\to 0$$ và $$n(b^2-1)=n\left(-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}\right)\to - 1$$ Bây giờ nó theo sau từ phương trình $(1)$ mẫu số đó $n(a-b) $ có xu hướng $$0\cdot\frac{1}{3}-(-1)\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$ và biểu thức dưới giới hạn do đó có xu hướng $2$.

Answer 4

Cho lớn $n$, $(1+n^{-2}+n^{-3})^{1/3}\in 1+\tfrac13n^{-2}+O(n^{-2})\subseteq 1+o(n^{-1})$, vì thế$$\begin{align}\frac{n^{-1}}{(1+n^{-2}+n^{-3})^{1/3}-(1-n^{-1}+2n^{-2})^{1/2}}&\in\frac{n^{-1}}{1+o(n^{-1})-1+\tfrac12n^{-1}+o(n^{-1})}\\&=\frac{n^{-1}}{\tfrac12n^{-1}+o(n^{-1})}\\&\stackrel{n\to\infty}{\sim}2.\end{align}$$