Có bao nhiêu số có bốn chữ số không chứa số 0 và phép nhân các chữ số của nó chia hết cho 7?

Question

Tôi thấy một câu hỏi trong cuốn sách toán của mình, nó có vẻ rất tầm thường, nó nói rằng:

Có bao nhiêu số có bốn chữ số không chứa số 0 và phép nhân các chữ số của nó chia hết cho 7?

Tôi nghĩ:

(tất cả các số có bốn chữ số không chứa số 0) trừ (tất cả các số có bốn chữ số không chứa 7 và 0)

để tìm số có bốn chữ số không chứa số 0 và phép nhân bốn chữ số của nó chia hết cho 7.

Sau đó $(9^4)-(8^4)=2465$. Tuy nhiên câu trả lời là$4904$. Tôi đang thiếu gì?

Answer 1

Câu trả lời đầu tiên của bạn là đúng đối với tuyên bố bạn đã đưa ra, thực sự:

Để cho $(a,b,c,d) \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}^4$. Vì thế$A = 1000a+100b+10c+d $ là một số có bốn chữ số.

Hơn nữa, $a\cdot b \cdot c \cdot d $ chia hết cho $7$, nếu và chỉ khi, phép tính thừa số nguyên tố của nó chứa ít nhất một lần $7$ vì vậy, nếu và chỉ khi, ít nhất một trong số $A$chữ số của bằng $7$. Do đó câu trả lời là$9^4-8^4 = 2465$ như bạn đã nói.

Tuy nhiên, nếu bạn đang tìm số lượng các số có bốn chữ số sao cho tích các chữ số của chúng chia hết cho$7$ câu trả lời là $4904 = 8(10^3-8^3) + 10^3$. Bạn có thể kiểm tra điều đó: để cho một số có bốn chữ số$A$ để có tích các chữ số của nó chia hết cho $7$, nó phải chứa $0$ hoặc là $7$.

Để cho $A = 1000a+100b+10c+d$ Ở đâu $0\leq a,b,c,d \leq 9$ là số nguyên và $a \neq0$.

Nếu $a=7$ thì bạn có thể có tất cả các kết hợp có thể cho $b,c$ và $d$. Do đó, nó mang lại cho bạn$10^3$ các lựa chọn.

Nếu $a \neq 7$, thì bạn đang tìm kiếm số $n$ khả năng có ít nhất $b,c$ hoặc là $d$ tương đương với $0$ hoặc là $7$. Hơn nữa, bạn có chính xác$8^3$ khả năng cho $b$, $c$ và $d$ không bằng $0$ cũng không $7$. Vì thế$n = 10^3-8^3$. Cuối cùng chỉ có$8$ khả năng cho $a$ trở nên khác biệt $7$.

Do đó, con số bạn đang tìm kiếm là $8(10^3-8^3)+10^3 = 4904$.