Dao động điều hòa lượng tử, năng lượng điểm 0 và số lượng tử n
Năng lượng của một dao động điều hòa lượng tử được cho là,
\ begin {method} E_ {qho} = \ left (n + \ frac {1} {2} \ right) \ hbar \ omega, \; \; \; \; \; \; n = 0,1,2,3, ... \ tag {1} \ end {method}
Tôi hiểu ý nghĩa của nguyên lý bất định Heisenberg không cho phép các nguyên tử đứng yên ngay cả khi $0$ K. Sự không chắc chắn này là lý do giải thích cho một số năng lượng do nguyên tử sở hữu $0$K - năng lượng điểm không (ZPE). Hầu hết các văn bản giới thiệu ZPE bằng cách lưu ý cách thức với$n = 0$ vẫn còn một năng lượng còn lại bằng $\frac{1}{2}\hbar\omega$.
Là $n$chỉ một số? Nếu vậy, làm thế nào có$n = 0$ bất cứ điều gì để làm với nhiệt độ?
Trả lời
Năng lượng điểm 0 không có tầm quan trọng ở đây, vì bạn luôn có thể chọn năng lượng quy chiếu của mình một cách tự do, bạn có thể chuyển đổi năng lượng của hamiltonian của bạn bằng cách $\frac{1}{2}\hbar\omega$ $$ H = \frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2-\frac{1}{2}\hbar\omega, $$và vật lý của hệ thống sẽ không thay đổi (hàm sóng sẽ giống nhau). Vì hàm sóng này không phải là hàm delta nằm ở 0 (như trong cơ học cổ điển) mà thay vào đó là trải rộng hơn, bạn có thể giải thích điều này là, ví dụ, nguyên tử của bạn vẫn dao động khi ở trong mặt phẳng này của hamiltonian.
Về câu hỏi của bạn: Có, $n$chỉ là một con số được dùng để ghi nhãn năng lượng từ thấp nhất đến cao nhất. Nhiệt độ chỉ đóng vai trò gián tiếp. Để xác định nhiệt độ, bạn phải xác định một tổ hợp nhiệt (bạn cần nhiều hơn một hạt để thực hiện đúng) với ma trận mật độ liên kết$\rho$. Một lựa chọn phổ biến cho việc này được đưa ra bởi$$ \rho = \frac{1}{z}\sum_{i=1}^{\infty}|i\rangle e^{-E_{i}/kT} \langle i|, z = \sum_{i=1}^{\infty}e^{-E_i/kT} $$ Ở đâu $|i\rangle$ biểu thị năng lượng eigenstates và $E_i$ các giá trị riêng của năng lượng tương ứng (trong trường hợp này là đối với dao động điều hòa). $T$ là nhiệt độ, $k$chỉ là một hằng số. Bạn có thể giải thích (tương tự như hệ số mở rộng hàm sóng) rằng hệ số$e^{-E_{i}/kT}/z$ là một xác suất ở trạng thái $|i\rangle$. Bạn có thể thấy điều đó khi$T\rightarrow 0$, chỉ hệ số có giá trị riêng năng lượng thấp nhất sẽ còn lại (bất kỳ hệ số nào có giá trị cao hơn $E_i$-giá trị sẽ biến mất nhanh hơn). Từ đó có thể suy ra rằng đối với một hệ thống tổng quát (không chỉ ví dụ về bộ dao động điều hòa của bạn), hệ thống sẽ ở trạng thái năng lượng thấp nhất khi$T\rightarrow 0$ (miễn là bạn có một bộ quần áo nhiệt).
Số lượng tử n chỉ đơn giản là đại diện cho các mức năng lượng khác nhau được cung cấp bởi dao động điều hòa.
$\mathbf{n=0}$không tương ứng với một nhiệt độ nhất định, nhưng sự chiếm đóng tương đối của nó đối với các mức năng lượng khác tương ứng với một nhiệt độ nhất định. Khi một hệ thống tăng nhiệt độ, các mức năng lượng cao hơn có thể bị chiếm dụng với số lượng lớn hơn. Tương tự như vậy, ở 0 K có một yêu cầu rằng chỉ có mức năng lượng thấp nhất được sử dụng.
Là $n$ chỉ một số?
$n$thực sự là một con số. Nó chỉ là một con số? Vâng, đó là một số lượng tử có nghĩa là nó gắn nhãn$n^{\textrm{th}}$ mức năng lượng kích thích của hệ thống (tức là $(n+1)^{\textrm{th}}$ giá trị riêng nhỏ nhất của Hamilton của hệ thống, với $n=0$tương ứng với giá trị riêng nhỏ nhất ,$n=1$tương ứng với giá trị riêng nhỏ nhất thứ hai , v.v.
Nếu vậy thì làm thế nào $n = 0$ có liên quan gì đến nhiệt độ không?
Ma trận mật độ của một hệ có thế dao động điều hòa thường được cho dưới dạng Hamilton $H$ bởi:
\ begin {method} \ rho = \ frac {e ^ {- \ beta H}} {\ textrm {tr} \ left (e ^ {- \ beta H} \ right)}, ~~~~~~~~ \ beta \ equiv \ frac {1} {k_BT}. \ tag {1} \ label {eq: boltzmann} \ end {method}
Các đường chéo của ma trận mật độ từ trên cùng bên trái đến dưới cùng bên phải sau đó cho bạn biết xác suất tìm thấy hệ thống trong $n=0,1,2,\ldots$, nghĩa là nếu phần tử trên cùng bên trái của ma trận mật độ là $p$, xác suất của hệ thống được tìm thấy ở mức năng lượng tương ứng với $n=0$ Là $p$. Khi nào$T=0$ chúng ta có xác suất hệ thống ở bất kỳ trạng thái kích thích nào ($n>0$) cực kỳ hạn chế bởi cấp số nhân giảm dần và bạn có thể tin tưởng vào việc tìm ra hệ thống tại $n=0$cấp độ. Khi nào$T$lớn hơn, các trạng thái phấn khích sẽ có nhiều khả năng được đông hơn. Như$T$ phương pháp tiếp cận $+\infty$, cấp số nhân trở nên gần bằng 1 và chúng tôi tiếp cận một kịch bản trong đó xác suất trở nên bằng nhau cho mỗi trạng thái $n$.
Phương trình 1 trong câu trả lời này cũng là:
- Phương trình 1 trong câu trả lời này: Chuyển đổi năng lượng liên kết hấp phụ sang nhiệt độ tuyệt đối
- Phương trình 3 trong câu trả lời này: Tôi có thể tính toán sự chênh lệch năng lượng tự do ở (theo thời gian) các trạng thái vi mô lân cận bằng cách sử dụng phương trình Zwanzig cho Sự xáo trộn năng lượng tự do không?
- Phương trình 2 trong câu trả lời này: Dao động điều hòa lượng tử, năng lượng điểm 0 và số lượng tử n
Là $𝑛$ chỉ một số?
Nói ngắn gọn, $n$ là số lượng tử năng lượng của dao động điều hòa lượng tử.
Nếu vậy thì làm thế nào $𝑛$=$0$ có liên quan gì đến nhiệt độ không?
Đặc biệt, $n$=$0$nghĩa là dao động điều hòa sẽ ở trạng thái cơ bản. Thông thường, trạng thái cơ bản của một hệ lượng tử được giả định là sống ở nhiệt độ không. Do đó, bạn có thể tìm thấy mối liên hệ giữa$n=0$ và điểm không.
Đây là một bài để nói về mối quan hệ giữa nhiệt độ không và trạng thái cơ bản.
- https://physics.stackexchange.com/questions/294593/whats-the-relation-between-zero-temperature-and-ground-state-of-interacting-man
Đây là một bài đăng để nói về kích thước để nói về cân bằng nhiệt (Đây là điều quan trọng để xác định nhiệt độ):
- https://physics.stackexchange.com/questions/311357/whats-the-size-to-talk-about-thermal-equilibrium
Có thể nó sẽ giúp.
Như đã được nêu trong một số câu trả lời khác, $n$ chỉ là một con số và dân số của các tiểu bang có $n$ phụ thuộc vào nhiệt độ.
Tuy nhiên, một điểm quan trọng vẫn chưa được đề cập. Bộ dao động điều hòa lượng tử thường được gọi cho chuyển động hạt nhân. Nó phát sinh từ sự mở rộng Taylor bậc hai của bề mặt năng lượng hạt nhân Born-Oppenheimer$V({\bf R}) = V({\bf R}_0) + \nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0} \cdot({\bf R}-{\bf R}_0)+\frac 1 2 ({\bf R}-{\bf R}_0)\cdot \nabla\nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0}\cdot ({\bf R}-{\bf R}_0) + \mathcal{O}(|{{\bf R}-{\bf R}_0}|^3)$
nơi mà thuật ngữ bậc nhất biến mất kể từ đó $\nabla V|_{{\bf R}={\bf R}_0} ={\bf 0}$ ở mức tối thiểu.
Vì phạm vi không gian của các tiểu bang tăng lên cùng với $n$, tầm quan trọng của hiệu ứng hưng phấn cũng tăng lên cùng với $n$, hoặc với nhiệt độ ngày càng tăng.