Là Dirac $\delta$-cực đối xứng?

Question

Dirac $\delta$-chức năng được định nghĩa là một phân phối thỏa mãn các ràng buộc sau:

$$ \delta (x-x') = 0 \quad\text{if}\quad x \neq x' \quad\quad\text{and}\quad\quad \delta (x-x') = \infty \quad\text{if}\quad x = x'$$

$$\int_{-\infty} ^{+\infty} \delta(x-x')\, dx = 1 $$

Một số tác giả cũng đưa ra một hạn chế khác rằng Dirac $\delta$-chức năng là đối xứng, tức là, $\delta(x)=\delta(-x)$

Bây giờ câu hỏi của tôi là, liệu chúng ta có cần áp đặt riêng những ràng buộc mà Dirac $\delta$-chức năng là đối xứng hay nó tự động đến từ các ràng buộc khác?

Vâng, để minh họa rõ ràng truy vấn của tôi, tôi sẽ định nghĩa một hàm như thế: $$ ξ(t)=\lim_{\Delta\rightarrow0^+} \frac{\frac{1}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}+\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}-\frac{1}{2}\right)}{\Delta} $$ Ở đâu ${\rm rect}(x)$ được định nghĩa là: $$ {\rm rect}(x)= 1 \quad\text{if}\quad |x| < \frac{1}{2} \quad\quad\text{and}\quad\quad {\rm rect}(x)= 0 \quad\text{elsewhere}. $$ $ξ(t)$ chắc chắn không đối xứng, nhưng nó thỏa mãn các điều kiện sau, $$ ξ(t)= 0 \quad\text{if}\quad t \neq 0 \quad\quad\text{and}\quad\quad ξ(t)= \infty \quad\text{if}\quad t = 0$$ $$\int_{-\infty} ^{+\infty} ξ(t)\,dt = 1 $$

Bây giờ, câu hỏi của tôi là, chúng ta có thể xác định $ξ(t)$ như chức năng Dirac Delta hay không?

Answer 1

"Hàm Delta" không phải là một hàm, mà là một phân phối. Phân phối là một quy định về cách gán số cho một hàm kiểm tra. Phân phối này có thể nhưng không nhất thiết phải có các giá trị hàm theo nghĩa thông thường. Trong trường hợp phân phối delta, nó không có giá trị hàm.

Vì vậy, tuyên bố như

$$ \delta(x) = \delta(-x) \quad\text{for all }x \tag{*} $$ nghĩa là "giá trị của $\delta$ tại $x$ bằng giá trị của $\delta$ tại $-x$"là vô nghĩa / không hợp lệ.

Nhưng tuyên bố $$ \int dx~ \delta(x) f(x) = \int dx~\delta(-x) f(x) \quad \text{for all functions }f \tag{**} $$ có thể hợp lệ.

Bạn có thể dễ dàng xác minh rằng chức năng của $\Delta$ và $x$ (biểu thức sau dấu giới hạn trong định nghĩa của $\xi$) không thỏa mãn một trong hai tuyên bố này (trong vai trò của $\delta$). Vì vậy, nó không phải là "đối xứng".

Phân bố delta theo giả thuyết chỉ có thể thỏa mãn câu lệnh thứ hai. Nó có làm như vậy không?

Chúng ta có thể đánh giá cả hai mặt của sự bình đẳng. Bên trái có giá trị, theo định nghĩa của$\delta(x)$, $f(0)$.

Chúng ta có thể biến đổi tích phân bên phải thành $$ \int dx~\delta(-x) f(x) = \int dy~\delta(y) f(-y) $$ Theo định nghĩa của $\delta(y)$, giá trị của tích phân này là $f(0)$, giống với phía bên trái. Như vậy (**) là hài lòng.

Phương trình $\delta(x) = \delta(-x)$ do đó, là hệ quả của định nghĩa về $\delta(x)$, nó không phải là giả định độc lập.

Chức năng của bạn $\xi$ cũng có thể thực sự tuân theo câu lệnh thứ hai (và do đó đối xứng theo nghĩa đó), mặc dù $\Delta$-biểu thức phụ thuộc sau dấu giới hạn không. Điều này cũng tương tự đối với các phép phân bố đồng bằng gần đúng khác; sự xấp xỉ có thể không có thuộc tính của$\delta$ (chẳng hạn như đối xứng), nhưng giới hạn thì không.

Answer 2

Biểu tượng $$\delta(x\!-\!y)\tag{A}$$ với hai đối số $x,y\in\mathbb{R}$là một ký hiệu hạt nhân không chính thức cho phân phối delta Dirac $$u~\in~ D^{\prime}(\mathbb{R}^2)\tag{B}$$ định nghĩa là

$$u[f]~:=\int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}z~f(z,z)\tag{C}$$

cho các chức năng kiểm tra $$f~\in~ D(\mathbb{R}^2).\tag{D}$$ Theo đó, đồng bằng Dirac được xác định như trên là đối xứng $$ \delta(x\!-\!y)~=~\delta(y\!-\!x), \tag{E}$$cf. Câu hỏi tiêu đề của OP.

Answer 3

Hàm Delta là một phân phối, được định nghĩa trên một tập hợp các hàm. Các nhà toán học thường diễn đạt điều này bằng cách sử dụng ký hiệu bra-ket, trong đó hàm delta là bra$<\delta|$ và $$<\delta| f> = \int \delta(x) f(x) dx = f(0)$$

Nếu bạn nói về tập hợp các hàm liên tục, tôi tin rằng bạn sẽ không cần yêu cầu đối xứng. Nhưng điều này không thường xảy ra. Trong cơ học lượng tử, chúng ta sử dụng tập các hàm tích phân bình phương; đây là một yêu cầu nhẹ nhàng, cho phép không liên tục.

Bây giờ, nếu bạn đang xem xét các hàm có thể không liên tục ở mức 0 thì bạn cần xác định rõ ràng những gì cần làm, phân phối delta đối xứng phải là

$$ <\delta | f > = \frac{f(0^+)+f(0^-)}2 $$

và bạn có thể có một "hàm delta" khác hoạt động giống nhau trong các hàm liên tục nhưng hoạt động khác nhau trong trường hợp gián đoạn.

THƯỞNG: trong cơ học lượng tử một chiều, bạn có toàn bộ tập hợp "đồng bằng - giống như các rào cản tiềm năng" được xác định bằng nhiều cách kết nối $\Psi'(0^+),\Psi(0^+)$ đến $\Psi'(0^-),\Psi(0^-)$. Danh pháp là ác mộng ở đây, do sai sót trong sách giáo khoa. Mỗi "vùng đồng bằng" hoặc "hàng rào được hỗ trợ tại một điểm" có thể được xem như một quy tắc để nối các khoảng$(-\infty, 0)$ và $(0, \infty)$.