Sự tương ứng giữa đại số toán tử đỉnh của nhà toán học và nhà vật lý (VOA)

Question

Tôi có một số nghi ngờ về khái niệm cần làm sáng tỏ, về việc kết hợp những gì chúng ta học được về đại số toán tử đỉnh (VOA) trong lý thuyết trường phù hợp, và cách nó được định nghĩa bởi một nhà toán học, nói từ cuốn sách của Kac . Đặc biệt:

• Do sự tương ứng giữa trường trạng thái, chúng ta có thể nghĩ về $V$ như một không gian của các trường, chứ không phải là không gian của các trạng thái?
• Nếu chúng ta có $a,b \in V$và chúng tôi muốn tìm thấy tiếng nói, $a_{-1}b$, trong ký hiệu của nhà vật lý, điều này chính xác tương đương với?
• Tôi cho rằng trạng thái rỗng $v \in V$ như vậy là cho một định mức phù hợp $||v|| = 0$ Tuy nhiên, $V$ không được coi là không gian chuẩn trong tiên đề của VOA, vậy trạng thái rỗng được định nghĩa như thế nào trong ngữ cảnh này?

Answer 1

• Đúng.

• Trong trường hợp của đại số Virasoro, chúng ta có phân tích chế độ $T(y)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} \frac{L_n}{(y-z)^{n+2}}$, vì thế $(L_{-1}T)(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_z dy\ T(y)T(z)$.

• Không cần phải có một quy chuẩn để xác định trạng thái rỗng. Trong trường hợp của đại số Virasoro, trạng thái rỗng là trạng thái bị giết bởi các chế độ hủy$L_{n>0}$, trong khi cũng là một trạng thái con cháu.