$u_t+(u(1-u))_x=a(1-2u)$, phương pháp đặc trưng cho phương trình lưu lượng truy cập với dữ liệu ban đầu riemann
Chúng tôi coi phương trình không bảo toàn $$u_t+(f(u))_x=af'(u)$$ Ở đâu $a$ là một hằng số và $f(u)=u(1-u)$.
Tôi đang cố gắng giải phương trình này bằng phương pháp đặc trưng với điều kiện ban đầu $$u(x,0)=\begin{cases} u_l & x\leq0 \\ u_r & x>0 \\ \end{cases} $$ Theo phương pháp của các đặc điểm, tôi có $\displaystyle \frac{dt}{1}=\frac{dx}{1-2u}=\frac{du}{a(1-2u)}$, điều này có nghĩa là phương trình đặc điểm là $$\displaystyle \frac{dx}{dt}=1-2u$$ cùng với $\displaystyle \frac{du}{dx}=a, \displaystyle \frac{du}{dt}=a (1-2u).$
Giải các phương trình này, tôi đã đạt đến $u(x,t)=ax+ g(t)$ Ở đâu $g$ là một số chức năng của $t$một mình. Tôi không biết phải tiếp tục như thế nào.
Tôi đã có thể giải quyết vấn đề này khi chúng tôi có phương trình $$u_t+(f(u))_x=0$$ như ở đó $u$là không đổi dọc theo đường đặc tính. Cảm ơn trước sự giúp đỡ nào.
Trả lời
Lưu ý rằng dữ liệu ban đầu $u(x,0)$ bao gồm một sự gián đoạn nhảy từ $u_l$ đến $u_r$, do đó bài toán giá trị ban đầu này là một bài toán Riemann . Mô hình luồng giao thông Lighthill-Witham-Richards (LWR) phổ biến được khôi phục khi$a=0$, và giải pháp Riemann tương ứng được mô tả trong bài đăng này . Hãy để chúng tôi giải quyết trường hợp tùy tiện$a$, ví dụ bằng cách làm theo một cách tiếp cận tương tự với bài đăng này . Cài đặt$v = 1 - 2u$ cung cấp PDE $$ v_t + vv_x = -2av $$ mà phương pháp của các đặc tính mang lại $v = c_1e^{-2at}$, $\frac{v-c_1}{2a} = -x+c_2$ và $$ v = f\!\left(x - v\,\frac{e^{2at}-1}{2a}\right) e^{-2at} \, , $$tương đương với giải pháp được tìm thấy trong câu trả lời của @Dmoreno. Tuy nhiên, đối với dữ liệu ban đầu không liên tục, phương pháp đặc trưng là không đủ (nó chỉ hợp lệ khi$u$mịn). Vì vậy, chúng tôi sử dụng các phương pháp thích hợp để giải quyết vấn đề này theo nghĩa yếu, xem bài liên quan . Ở đây, chúng tôi tìm thấy giải pháp sóng xung kích$$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< x_s(t) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> x_s(t) \end{aligned}\right. ,\qquad x_s(t) = \frac{v_l+v_r}{2}\frac{1-e^{-2at}}{2a} . $$ nếu $v_l > v_r$và giải pháp sóng hiếm $$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< v_l (e^{-2at} - 1) \\ & \frac{x e^{-2at}}{e^{-2at} - 1} && \text{if}\quad v_l (e^{-2at} - 1)\leq x\leq v_r (e^{-2at} - 1) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> v_r (e^{-2at} - 1) \end{aligned}\right. $$ nếu $v_l < v_r$. Người ta có thể kiểm tra rằng cùng một giải pháp$u = \frac{1-v}2$ thu được bằng cách giải quyết vấn đề PDE ban đầu trực tiếp (không thay đổi các biến).
Từ $\mathrm{d}u/\mathrm{d}x = a$ bạn lấy $u - ax = c_1$, và từ $a\mathrm{d}t = \mathrm{d}u/(1-2u)$ Bạn được thông qua $u = \frac{1}{2}(1-c_2 \mathrm{e}^{-2 at})$. Để cho$c_2 = f(c_1)$ để tìm ra một giải pháp ngầm định cho $u$, được xác định bởi phương trình
$$ u = \frac{1}{2}\left[1-f(u - ax) \, \mathrm{e}^{-2 at}\right]$$
Nhiệm vụ trước mắt là xác định $f$ từ điều kiện ban đầu và cuối cùng giải quyết cho $u$. Bạn có thể lấy nó từ đây không?