Có cách tiêu chuẩn nào để trang bị một đại số sigma với đại số sigma không?

Question

Giả sử $(X, \mathcal X)$là một không gian có thể đo lường được. Tôi muốn nói điều gì đó về các hàm có thể đo lường nhận các giá trị trong$\mathcal X$, nhưng để làm được điều đó, tôi cần $\mathcal X$ để được trang bị đại số sigma.

Có một cách trang bị kinh điển không $\mathcal X$ với một đại số sigma $\mathcal F_\mathcal X$ để chúng ta có thể nói về các chức năng có thể đo lường từ $(X, \mathcal X)$ đến $(\mathcal X, \mathcal F_\mathcal X)$?

Một số ý tưởng xảy ra với tôi:

(1) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X\}$. Nhưng tôi không thấy rằng điều này được đóng lại dưới phần bổ sung.

(2) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X \ \text{or} \ \bigcap A \in \mathcal X\}$. Nhưng tôi không thấy rằng điều này được đóng lại theo các công đoàn có thể đếm được.

Answer 1

Theo như tôi biết, không có cách tiếp cận tiêu chuẩn nào để xây dựng một cấu trúc có thể đo lường được như vậy.

Chúng tôi cần một cái gì đó tương tự như vậy cho một số công việc khái quát các quy trình quyết định của Markov (nhìn từ quan điểm của Khoa học Máy tính) với "thuyết không xác định". Bạn có thể kiểm tra tham chiếu tại arXiv ( DOI ).

Định nghĩa đã thực hiện công việc cho chúng tôi ở đó là khai báo một số tập hợp con của $\mathcal{X}$ có thể đo lường nếu nó nằm trong $\sigma$-đại số học $H(\mathcal{X})$ được tạo ra bởi các bộ $H_\xi := \{\theta\in \mathcal{X} : \theta \cap \xi \neq \varnothing\}$, Ở đâu $\xi$ phạm vi hơn $\mathcal{X}$. Điều này chủ yếu được thúc đẩy bởi việc xây dựng siêu không gian có thể đo được của các tập con đóng của một không gian tôpô.

Trên thực tế, giới hạn ở một số tập hợp con thích hợp $\mathcal{X}$ có vẻ hợp lý hơn, vì kết quả $\sigma$-algebra là rất lớn: Nếu tôi nhớ chính xác, một lần $X$ là vô hạn và $\mathcal{X}$ tách các điểm, sau đó $H(\mathcal{X})$ không thể đếm được.