Entropy tương đối tối đa giữa một trạng thái và các biên của nó

Aug 16 2020

Lý lịch

Entropy tương đối lượng tử được xác định cho bất kỳ trạng thái lượng tử nào $\rho, \sigma$ như

$$D(\rho\|\sigma) = tr(\rho\log\rho) - tr(\rho\log\sigma)$$

Cho sự lựa chọn tùy ý của $\rho,\sigma$, entropy tương đối lượng tử có thể nhận bất kỳ giá trị không âm nào. Xem xét một số trạng thái lưỡng phân$\rho_{AB}$ và hãy để cho những lợi ích của nó là $\rho_A$$\rho_B$. Nếu chúng ta xem xét$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$, chúng tôi có thông tin lẫn nhau. Hơn nữa, chúng tôi có điều đó

$$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B) \leq \min(2\log|A|, 2\log|B|)$$

Câu hỏi

Tương tự một lần của entropy tương đối là entropy tương đối tối đa và được định nghĩa là

$$D_{\max}(\rho \| \sigma)=\inf \left\{\lambda \in \mathbb{R}: 2^{\lambda} \sigma \geq \rho\right\},$$

Ở đâu $A\geq B$ được sử dụng để biểu thị rằng $A-B$là tích cực bán xác định. Giống như entropy tương đối thông thường, entropy tương đối tối đa cũng có thể nhận bất kỳ giá trị không âm nào. Nếu bây giờ tôi xem xét$D_{\max}(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$, có giới hạn trên về giá trị lớn nhất mà nó có thể nhận không?

Tôi tin rằng câu trả lời là có vì trường hợp của $+\infty$ bị loại trừ do sự hỗ trợ của $\rho_{AB}$ được chứa trong sự hỗ trợ của $\rho_A\otimes\rho_B$ nhưng đã không thể tìm thấy một ràng buộc.

Trả lời

1 Daniel Aug 26 2020 at 08:24

$\renewcommand{ket}[1]{\left| #1 \right\rangle}$ Trạng thái bão hòa ràng buộc thông tin lẫn nhau là $$\rho_{AB} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} \ket{a_i}\ket{b_i} $$ Ở đâu $N = \min(|A|,|B|)$$\{\ket{a_i}\}, \{\ket{b_i}\}$ là cơ sở cho $A,B$, tương ứng. Về mặt trực quan, trạng thái này tối đa hóa entropy của các biên trong khi vẫn giữ$A$$B$ hoàn toàn tương quan.

Trạng thái này cho $I_{\max} = \log_2(N)$. Tôi chưa chứng minh rằng đây là giới hạn trên, nhưng có vẻ như đây là một nơi tốt để bắt đầu.