Hiểu phát biểu và cách chứng minh định lý Bertini trong Griffiths và Harris
Tôi đang gặp khó khăn khi hiểu tuyên bố và cách chứng minh định lý Bertini trong cuốn sách Griffiths & Harris (tr.$137$). Thành thật mà nói, tôi không hiểu một từ ngay cả sau khi tôi đọc một số câu trả lời trên chồng. Định lý là
Phần tử chung của một hệ thống tuyến tính nằm cách xa quỹ tích cơ sở của hệ thống.
Câu hỏi đầu tiên . Câu lệnh trên có đề cập đến tuyến tính của các bó dòng chung thay vì chỉ các bó dòng được liên kết với các ước số không?
Theo như tôi có thể nói, nó đề cập đến một hệ thống tuyến tính của một bó dòng được liên kết với một số chia. Nói cho tôi biết nếu tôi sai.
Câu hỏi thứ hai . Phần tử chung là gì? Hoặc bút chì chung chung là gì?
Trong phần chứng minh, các tác giả bắt đầu với " Nếu phần tử chung của một hệ thống tuyến tính là số ít khác với quỹ tích cơ sở của hệ thống, thì điều này cũng đúng với một cây bút chì chung có trong hệ thống; do đó, nó đủ để chứng minh Bertini cho một cây bút chì. "
Câu hỏi thứ ba . Chính xác thì câu trên có nghĩa là gì?
Bây giờ giả sử $\left \{D_{\lambda} \right \}_{\lambda \in \mathbb{P}^1}$ là một cây bút chì
Câu hỏi thứ tư . Tại sao các tác giả viết$D_{\lambda} = (f+\lambda g = 0)$? Làm gì$f,g$ nghĩa là ở đây?
Câu hỏi cuối cùng liên quan đến mức độ đa dạng (tr.$171$).
Bertini đã áp dụng cho quỹ tích nhẵn của $V$ chung chung $(n-k)$-máy bay $\mathbb{P}^{n-k} \subset \mathbb{P}^n$ sẽ giao nhau $V$ ngang ngược và như vậy sẽ gặp nhau $V$ chính xác $\mathrm{deg}(V) = ^{\#}(\mathbb{P}^{n-k}.V)$ điểm.
Câu hỏi cuối cùng . Chung chung là gì$(n-k)$-máy bay? Trong trường hợp này, tại sao nó lại giao nhau$V$ ngược lại?
Trả lời
Trong cài đặt của bạn (một đa tạp phức tạp), tất cả các gói đường đều đến từ các ước số và ngược lại.
Một phần tử chung của một hệ thống tuyến tính có nghĩa là trong $\mathbb P^r$ tham số hóa các thành viên của hệ thống tuyến tính đó, chúng tôi xem xét một số tập con mở dày đặc của $\mathbb P^r$. Các phần tử chung là những phần tử được tham số hóa bởi một điểm trong phần mở dày đặc đó. Một cây bút chì thông thường được tham số tương tự bằng một điểm trong phần mở dày đặc của Grassmannian$G(2,r+1)$ của $2$-không gian con thứ nguyên của $H^0(L)$ (Ở đâu $L$ là bó dòng).
Câu đang nói rằng bất kỳ hành vi "xấu" nào sẽ xảy ra trong bút chì, vì vậy chúng ta không cần phải lo lắng về các hệ thống tuyến tính có chiều cao hơn.
Ý họ là $f,g \in H^0(L)$, do đó, lấy các kết hợp tuyến tính của $f$ và $g$ mang lại một cây bút chì.
Một mặt phẳng chung được tham số hóa bởi một tập con mở dày đặc của Grassmannian thích hợp. Tính ngang giá là vì tính ngang giá là một điều kiện mở.