Mối quan hệ giữa phép chiếu của $y$ trên $x_1, x_2$ riêng lẻ so với phép chiếu trên cả hai?
Điều này về cơ bản tương tự như câu hỏi tôi vừa hỏi khi xác thực chéo , nhưng ở đây tôi sẽ đặt nó theo cách đại số tuyến tính.
Xem xét $y \in \mathbb{R}^n$ và $x_1, x_2, 1_n \in \mathbb{R}^{n}$. Giả sử bạn dự án trực giao$y$ trên $x_1, 1_n$ và tìm hình chiếu của $y$ vào không gian con được kéo dài bởi $x_1, 1_n$ có thể được viết như $\hat{y}_1 = \hat{\beta}_1 x_1 + b_1$, tức là, một sự kết hợp tuyến tính của $x_1$cộng với một số bù đắp. Bây giờ, hãy làm tương tự đối với phép chiếu trực giao của$y$ trên $x_2, 1_n$ và tìm $\hat{y}_2 = \hat{\beta}_2 x_2 + b_2$.
Bây giờ hãy xem xét việc lập kế hoạch $y$ vào không gian con được kéo dài bởi cả hai $x_1, x_2, 1_n$ và tìm $\hat{y}_{12} = \hat{\gamma}_1 x_1 + \hat{\gamma}_2x_2 + b_{12}$.
Nếu $x_1 \perp x_2$, sau đó tôi biết $\hat{\beta}_i = \hat{\gamma}_i$. Nhưng nếu chúng không trực giao thì sao?
Tôi có thể nói gì về mối quan hệ giữa $\hat{\beta}$ và $\hat{\gamma}$ trong trường hợp này?
Một số câu hỏi cụ thể mà tôi cũng quan tâm là nếu $\hat{\beta} >0 $, điều này có ngụ ý không $\hat{\gamma} > 0$? Nếu$x_1, x_2$ phụ thuộc tuyến tính, sau đó tôi không nghĩ rằng điều này sẽ không đúng với một trong các hệ số.
Trả lời
Tôi không thể nói rằng tôi hoàn toàn hiểu những hằng số đó $b_1$, $b_2$ hoặc là $b_{12}$là cho. Nhưng tôi đã hiểu ý chính của câu hỏi của bạn và tôi sẽ cố gắng hết sức.
Nói phép chiếu trực giao của $y$ vào không gian con được kéo dài bởi $x_1$ có thể được viết như $\hat{y}_1 = \hat{\beta}_1 x_1$, tức là, một sự kết hợp tuyến tính của $x_1$. Bây giờ chúng ta làm tương tự đối với phép chiếu trực giao của$y$ trên $x_2$ và tìm $\hat{y}_2 = \hat{\beta}_2 x_2$.
Ngoài ra, chúng tôi có dự đoán của $y$ vào không gian con được kéo dài bởi cả hai $x_1, x_2$ và tìm $\hat{y}_{12} = \hat{\gamma}_1 x_1 + \hat{\gamma}_2x_2$.
Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể nói các vectơ $x_1$ và $x_2$ là các vectơ đơn vị và biểu diễn chúng bằng $\hat{x_1}$ và $\hat{x_2}$. Nếu bạn không muốn làm điều này, hãy viết lại tất cả các vectơ dưới dạng$\hat{x_1}$ và $\hat{x_2}$. Ví dụ,$\hat{\beta_1}$ sẽ trở thành $\hat{\beta_1} ||x_1||$
Bây giờ, hãy xem xét tuyên bố này. Phép chiếu trực giao của$\hat{y_{12}}$ trên $x_1$ sẽ giống như $\hat{y_1}$ và phép chiếu trực giao của $\hat{y_{12}}$ trên $x_2$ sẽ giống như $\hat{y_2}$.
Vì vậy, theo định nghĩa của phép chiếu,
$$ \hat{y_{12}}.\hat{x_1} = ||\hat{y_1}|| $$
$$ \implies (\hat{\gamma}_1 \hat{x_1} + \hat{\gamma}_2 \hat{x_2}).\hat{x_1} = ||\hat{y_1}||$$
$$ \implies \hat{\gamma}_1 \hat{x_1}.\hat{x_1} + \hat{\gamma}_2 \hat{x_2}.\hat{x_1} = \hat{\beta}_1$$
$$ \implies \hat{\gamma}_1 + \hat{\gamma}_2 \hat{x_2}.\hat{x_1} = \hat{\beta}_1 \tag{1}$$
Tương tự, chúng ta có thể giải quyết $ \hat{y_{12}}.\hat{x_1} = ||\hat{y_2}|| $ để có được
$$ \implies \hat{\gamma}_1 \hat{x_1}.\hat{x_2} + \hat{\gamma}_2 = \hat{\beta}_2 \tag{2}$$
Của bạn đây. Ta có 2 phương trình và 2 ẩn số.
Rõ ràng là chúng ta nên biết giá trị của $\hat{x_1}.\hat{x_2}$, nói cách khác là cosin của góc giữa chúng, để có được các quan hệ cần thiết. Trong trường hợp nơi$\hat{x_1}$ và $\hat{x_2}$ là trực giao, $cos \frac{\pi}{2}=0$ và do đó kết quả bạn đưa ra $\hat{\beta}_i = \hat{\gamma}_i$.