Các coset bên trái của $H$ trong $G$ vách ngăn $G$

Question

Để cho $G$ là một nhóm và $H$một nhóm con. Sau đó, coset bên trái của$H$ trong $G$ vách ngăn $G$. Đặc biệt,$(1)$ mỗi $a$ ∈ G nằm trong đúng một coset bên trái, cụ thể là $aH$và $(2)$ nếu $a, b \in G$, sau đó một trong hai $aH = bH$ hoặc là $aH \cap bH = \emptyset $.

Phần $(2)$được thực hiện. Vấn đề của tôi là một phần$(1)$, Tôi đã thử điều này nhưng không thực sự chắc chắn:

Để cho $a\in G$, chúng tôi có cái đó $e\in H$, vì thế $a\in aH$, từ $a=ae$. Điêu nay cho thây răng$a$ nằm trong một số coset bên trái, cụ thể là $aH$.

Bây giờ nếu $a\in aH$ và $a\in bH$, chúng tôi có cái đó $a=ae=abh$, vì thế $bh=e$ và như vậy $a$ nằm trong đúng một coset bên trái.

Tôi nói đúng chứ?

Answer 1

Giả sử rằng bạn đã chứng minh (2) Tôi tiến hành:

$\mathbf{Theorem 1:}$ Đối với $a,b \in G$ chứng minh rằng $aH=bH$ iff $a^{-1}b \in H$.

$\mathbf{Theorem 2:}$ Đối với $a,b \in G$ chứng minh rằng $b \in aH$ iff $a^{-1}b \in H$

Sau đó, các điều kiện sau là tương đương: $$b \in aH \equiv a^{-1}b \in H \equiv aH=bH$$ Từ $e \in H, a=ae \in aH$. Để cho$a \in bH$. Sau đó$aH=bH$. Như vậy$a$ thuộc đúng một coset bên trái.