Câu hỏi trong Milnor & Stacheff - Các lớp đặc trưng, ​​xây dựng các lớp Chern

Aug 16 2020

Đoạn văn sau được trích từ cuốn sách:

Bây giờ chúng ta sẽ đưa ra một định nghĩa quy nạp về các lớp đặc trưng cho một phức hợp $n$-bó máy bay $\omega=(\pi: E\to M)$. Nếu là cần thiết trước tiên để xây dựng một quy tắc$(n-1)$-bó máy bay $\omega_0$ trên tổng không gian đã xóa $E_0$. ($E_0$ biểu thị tập hợp tất cả các vectơ khác không trong $E$.) Một điểm trong $E_0$ được chỉ định bởi một sợi $F$ của $\omega$ cùng với một vectơ khác không $v$trong sợi đó. Trước tiên, giả sử một số liệu Hermitian đã được chỉ định trên$\omega$. Sau đó, sợi của$\omega_0$ theo định nghĩa, là phần bù trực giao của $v$ trong không gian vector $F$. Đây là một không gian vectơ phức tạp có chiều$n-1$và các không gian vectơ này rõ ràng có thể được coi là các sợi của một gói vectơ mới $\omega_0$ kết thúc $E_0$.

Câu hỏi: Tôi đã hiểu cách tổng không gian của $\omega_0$được định nghĩa. Nhưng cấu trúc liên kết của tổng không gian được định nghĩa như thế nào? Không có đề cập về nó.

Trả lời

1 ArcticChar Aug 16 2020 at 12:49

Hãy xem xét các ánh xạ sau:

$\require{AMScd}$ \ begin {CD} \ pi ^ * E @ >>> E \\ @V \ bar \ pi VV @VV \ pi V \\ E @ >> \ pi> M \ end {CD}

tạo ra một gói pullback $\bar \pi : \pi^*E \to E$, ở đâu cho mỗi $v\in E$, $$\bar\pi^{-1} (v) = \pi^{-1} (\pi(v)).$$ (nghĩa là sợi chỉ là sợi $F_x$, Ở đâu $x = \pi(v)$). $\pi^*E$được cung cấp cấu trúc liên kết của gói pullback. Từ$E_0$ là một tập hợp con của $E$, hạn chế cung cấp một gói

$$\tag{1} \bar\pi \big|_{\bar\pi^{-1}(E_0)} : \pi^*E\big|_{\bar\pi^{-1}( E_0)} \to E_0$$

và gói $\omega_0$được xây dựng trong cuốn sách là một gói phụ của (1). Cộng là có cấu trúc liên kết không gian con được cho bởi (1).