Câu hỏi trong Milnor & Stacheff - Các lớp đặc trưng, xây dựng các lớp Chern
Đoạn văn sau được trích từ cuốn sách:
Bây giờ chúng ta sẽ đưa ra một định nghĩa quy nạp về các lớp đặc trưng cho một phức hợp $n$-bó máy bay $\omega=(\pi: E\to M)$. Nếu là cần thiết trước tiên để xây dựng một quy tắc$(n-1)$-bó máy bay $\omega_0$ trên tổng không gian đã xóa $E_0$. ($E_0$ biểu thị tập hợp tất cả các vectơ khác không trong $E$.) Một điểm trong $E_0$ được chỉ định bởi một sợi $F$ của $\omega$ cùng với một vectơ khác không $v$trong sợi đó. Trước tiên, giả sử một số liệu Hermitian đã được chỉ định trên$\omega$. Sau đó, sợi của$\omega_0$ theo định nghĩa, là phần bù trực giao của $v$ trong không gian vector $F$. Đây là một không gian vectơ phức tạp có chiều$n-1$và các không gian vectơ này rõ ràng có thể được coi là các sợi của một gói vectơ mới $\omega_0$ kết thúc $E_0$.
Câu hỏi: Tôi đã hiểu cách tổng không gian của $\omega_0$được định nghĩa. Nhưng cấu trúc liên kết của tổng không gian được định nghĩa như thế nào? Không có đề cập về nó.
Trả lời
Hãy xem xét các ánh xạ sau:
$\require{AMScd}$ \ begin {CD} \ pi ^ * E @ >>> E \\ @V \ bar \ pi VV @VV \ pi V \\ E @ >> \ pi> M \ end {CD}
tạo ra một gói pullback $\bar \pi : \pi^*E \to E$, ở đâu cho mỗi $v\in E$, $$\bar\pi^{-1} (v) = \pi^{-1} (\pi(v)).$$ (nghĩa là sợi chỉ là sợi $F_x$, Ở đâu $x = \pi(v)$). $\pi^*E$được cung cấp cấu trúc liên kết của gói pullback. Từ$E_0$ là một tập hợp con của $E$, hạn chế cung cấp một gói
$$\tag{1} \bar\pi \big|_{\bar\pi^{-1}(E_0)} : \pi^*E\big|_{\bar\pi^{-1}( E_0)} \to E_0$$
và gói $\omega_0$được xây dựng trong cuốn sách là một gói phụ của (1). Cộng là có cấu trúc liên kết không gian con được cho bởi (1).