Chúng ta có thể định nghĩa $z^{\frac{1}{2}}$ như một hàm holomorphic trên $\mathbb{C}\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$?

Question

Xem xét $$z^{\frac{1}{2}}:=e^{\frac{1}{2}(\log|z|+iarg(z))}.$$

Chúng ta có thể thấy rằng, chẳng hạn như $z^{\frac{1}{2}}$ có thể được định nghĩa là một hàm holomorphic gần $z=\frac{1}{2}$, bằng cách phá hủy một khu phố rất nhỏ của $z=\frac{1}{2}$và xác định một $arg(z)$ để làm cho nó liên tục ở đó.

Câu hỏi của tôi: Có thể $z^{\frac{1}{2}}$ được coi là một hàm holomorphic trên $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$? Đây$D$ là đĩa đơn vị trong $\mathbb{C}$.

Theo hàm holomorphic, ý tôi là một bản đồ$f:D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.\rightarrow \mathbb{C}$ thỏa mãn phương trình Cauchy-Riemann trên $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$.

Như đã trả lời bên dưới , chúng tôi thấy rằng câu trả lời cho câu hỏi của tôi là phủ định. Tôi muốn xem xét thêm câu hỏi liên quan sau:

Một câu hỏi bổ sung : câu hỏi tương tự nhưng lần này chúng tôi xem xét miền$D\left\backslash B(0,\epsilon) \right.$, rất nhỏ $\epsilon$.

Answer 1

Không, điều này là không thể. Hàm này sẽ được giới hạn trong một vùng lân cận bị thủng của$0$, điều này sẽ làm $0$ một điểm kỳ dị có thể tháo rời của $z^{\frac{1}{2}}$. Nhưng sau đó$0$ cũng sẽ là một điểm kỳ dị có thể tháo rời của đạo hàm $\frac{1}{2z^{\frac{1}{2}}}$, không thể có điểm kỳ dị có thể tháo rời tại $0$ bởi vì nó không bị giới hạn trong một vùng lân cận bị thủng.