Không hiểu cách hoạt động của PDF chung này

Aug 16 2020

Câu hỏi này đến từ MIT 6.041 OCW.

Tôi không hiểu phần b của câu hỏi này, cụ thể như thế nào $f_X(x)$$f_{Y|X}(y|0.5)$ được tính toán.

Theo như tôi hiểu, bạn nhận được tệp PDF ngoài lề bằng cách tích hợp tệp PDF chung, tức là $f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y) dy$.

Điều này đã dẫn đến rất nhiều nhầm lẫn:

  1. Theo sơ đồ, có hai $f_{X,Y}(x,y)$: $1/2$$3/2$. Vì vậy, tích hợp hai điều này, chúng ta sẽ$\frac{1}{2}y$$\frac{3}{2}y$ tương ứng - vì vậy cái nào được cho là $f_X(x)$? Và là$f_X(x)$ về mặt $y$ thậm chí hợp pháp?

  2. Giải pháp nêu rõ $f_X(x)$ về mặt $x$, nhưng nếu chúng ta tích hợp $f_{X,Y}(x,y)$ về mặt $y$, làm thế nào chúng ta có thể nhận được $x$?

Giải pháp cho $f_{Y|X}(y|0.5)$thậm chí còn kỳ lạ hơn; Các điểm riêng lẻ không nhận được PDF bởi vì một điểm không có diện tích? Vì vậy, làm thế nào nó có thể nói về$X=0.5$ ngay từ đầu, hãy để một mình biến cố có xác suất bằng không là mẫu số?

Trả lời

3 BrianTung Aug 19 2020 at 12:24

Các tích phân được đề cập là tích phân xác định , không phải là đạo hàm. Ví dụ,

$$ f_X(x) = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy $$

Cho rằng

$$ f_{X, Y}(x, y) = \begin{cases} \frac12 & 0 < x < 1, 0 < y < x \\ \frac32 & 1 < x < 2, 0 < y < 2-x \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

chúng tôi nhận được, cho $0 < x < 1$,

\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^x \frac{dy}{2} \\ & = \left. \frac{y}{2} \right]_{y=0}^x \\ & = \frac{x}{2} \end{align}

va cho $1 < x < 2$,

\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^{2-x} \frac{3 \, dy}{2} \\ & = \left. \frac{3y}{2} \right]_{y=0}^{2-x} \\ & = 3-\frac{3x}{2} \end{align}

Đối với những người khác, chúng tôi có

$$ f_{Y \mid X}(y \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(0.5, y)} {\int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(0.5, y) \, dy} $$

$$ f_{X \mid Y}(x \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(x, 0.5)} {\int_{x=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, 0.5) \, dx} $$

Lưu ý rằng đánh giá cuối cùng yêu cầu tích hợp một hàm hằng số mảnh.