Sử dụng Vi phân (không phải đạo hàm riêng) để chứng minh rằng d𝜃 / dx = -sin (𝜃) / r [trùng lặp]
Tôi đang cố gắng chứng minh các phần của từng thành phần của ma trận nghịch đảo trong hình ảnh đính kèm. Tôi đã thử sử dụng vi sai và sau đó giải quyết cho các thành phần khác. (Tôi muốn giải quyết nó theo cách này). Cố gắng giải quyết ví dụ,$\frac{d\theta}{dx}$ (ở dưới cùng bên trái của ma trận nghịch đảo [đính kèm bên dưới]) $$x = r cos(\theta)$$ -> $$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$$Sau đó, quan sát rằng chúng tôi đang nắm giữ $r = constant$, do đó $dr = 0$. Tôi hiểu rồi$\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$, mà là gần. Tôi đặt cái này vào một máy tính từng phần và tạo ra$\theta$ một hàm của x và r, $\theta = cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 +y^2}}\right)$. Lấy$\frac{\partial \theta}{\partial x}$Tôi nhận được câu trả lời đúng do r là một hàm của x và y. Nếu tôi sử dụng$cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right)$ và lấy một phần tôi nhận được những gì tôi đã nêu ở trên ($\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$). Ngoài ra, tôi đã cố gắng thay thế dr trong$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$ bằng cách sử dụng $r^2=x^2+y^2$ bằng cách thay thế dr bằng $rdr = xdx + ydy$nơi tôi cho rằng dy là hằng số. Điều đó mang lại cho tôi câu trả lời sai. Tôi muốn cải thiện tư duy logic của mình để mọi lời khuyên về những gì tôi đã làm cũng sẽ rất tuyệt. Cảm ơn bạn!
Tóm tắt: Tôi đang cố gắng chứng minh bằng cách sử dụng sự khác biệt (không phải phần tử) rằng $\frac{d\theta}{dx} = \frac{-sin(\theta)}{r}$
Trả lời
Vấn đề là bạn không thể chỉ viết $\frac{d\theta}{dx}$. Trong nhiệt động lực học, có một ký hiệu thực sự hữu ích và quan trọng. Họ viết các đạo hàm riêng với một chỉ số con để chỉ ra (các) biến nào được giữ cố định. Vì vậy, ví dụ, nếu chúng ta có$z=f(x,y)$ và chúng tôi muốn tìm đạo hàm của $f$ đối với $x$, sửa chữa $y$, chúng tôi viết $$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y \quad\text{or}\quad \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y.$$ Điều này rất quan trọng vì chúng ta có thể có rất nhiều biến số bay xung quanh và điều quan trọng là phải biết (các) biến số nào đã được sửa.
Trong ví dụ của bạn, chúng tôi có thể nghĩ đến $(x,y)$ như các chức năng của $(r,\theta)$. Sau đó, nếu chúng ta viết$\partial x/\partial\theta$, điều này thường biểu thị $\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r$. Khi bạn sửa chữa$r$, sau đó nó trở thành sự thật (vì về cơ bản chúng ta đang làm phép tính một chiều) rằng $$\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r = \frac 1{\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r}.$$ Tuy nhiên, bạn đang xáo trộn mọi thứ bằng cách thay vào đó cố gắng tính toán $\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y$, và đây là hai con thú hoàn toàn khác nhau. Bạn thực sự phải cẩn thận về việc theo dõi các biến độc lập. Nếu bạn thay đổi những điều đó, sẽ có nhiều quy tắc chuỗi hơn.
Chỉ để nhắc lại, bạn đang cố gắng so sánh \begin{align*} \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r &= -\frac1{r\sin\theta} = -\frac1y \quad\text{and} \\ \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y &= -\frac{y}{x^2+y^2} = -\frac{\sin\theta}r. \end{align*}
Nhân tiện, được cảnh báo. Nói chung, chúng tôi không có$\frac{\partial x}{\partial\theta} = \frac1{\frac{\partial\theta}{\partial x}}$. Thật vậy, kể từ$x=r\cos\theta$, chúng ta có $\partial x/\partial\theta = -r\sin\theta$ (đó là $-y$). Mặt khác, kể từ khi$\theta =\arctan(y/x)$ (ít nhất là cho $-\pi/2<\theta<\pi/2$), chúng ta có $\partial\theta/\partial x = -\frac y{x^2+y^2}$, rất khác với $-y$. Đây là của bạn$-\sin\theta/r$, tất nhiên. Quan hệ đúng xuất phát từ ma trận đạo hàm hoàn chỉnh (được gọi là Jacobians), là ma trận nghịch đảo$2\times 2$ ma trận.
Bạn có thể làm tất cả điều này một cách chính xác với các vi phân (thực tế là các dạng vi phân), nhưng bạn vẫn phải theo dõi xem các biến độc lập là ai. Và bạn thực sự phải ngừng viết những thứ như$d\theta/dx$ trừ khi $\theta$thực sự là một hàm chỉ của một biến$x$. Để có được công thức đầu tiên, bạn sẽ phải viết$d\theta$ về mặt chỉ $dx$ và $dr$; để có được thứ hai bạn sẽ phải viết$d\theta$ về mặt thông thường $dx$ và $dy$. Nó chỉ là một câu hỏi về những gì các biến độc lập s là.