Xác định độ tụ của một chuỗi.

Question

Đây là loạt bài: $$ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n}}}}{(n + (n + n^2)^2)^2}$$ Phương pháp tôi sử dụng để xác định chuỗi này là kiểm tra so sánh mà tôi xây dựng chuỗi sau: $$ a_n = \frac{\sqrt{3n}}{n^8}$$Mà tạo thành một chuỗi hội tụ trong đó mỗi số hạng lớn hơn các số hạng trong chuỗi trên để tôi xác định chuỗi trên là hội tụ. Tuy nhiên, tôi không biết liệu mình có đúng hay không. Vì vậy, nếu tôi sai xin vui lòng cho tôi biết làm thế nào để làm điều đó đúng hoặc nếu tôi đúng, xin vui lòng xác nhận với tôi hoặc cung cấp cho tôi một phương pháp thay thế để xác định sự hội tụ của chuỗi trên để thảo luận. Cảm ơn.

Answer 1

Thành thật mà nói, trừ khi có một hướng dẫn rõ ràng để sử dụng một số thử nghiệm, tôi thích nghĩ về các loại loạt bài này về kiểm tra so sánh giới hạn (LCT) , thay vì kiểm tra so sánh (CT).

Tuyên bố thông thường của LCT là như sau: Giả sử rằng $\{ a_n \}$ và $\{ b_n\}$ là các chuỗi với $a_n \ge 0$, $b_n > 0$ cho tất cả $n$. Nếu$\lim_{n\to +\infty} a_n/b_n$ tồn tại và khác không, sau đó $\sum a_n$ và $\sum b_n$ hội tụ với nhau, hoặc phân kỳ cùng nhau.

LCT ít quan tâm hơn đến hướng của bất đẳng thức (không giống như CT nơi bạn phải xác minh một số bất đẳng thức nhất định có thể gây khó chịu), và nhiều hơn về các tiệm cận, điều này làm cho nó mạnh hơn rất nhiều. Đối với việc tìm kiếm sự thích hợp$b_n$để sử dụng như một điểm so sánh? Ý tưởng thông thường là xem xét các số hạng chi phối nhất (tức là, các số hạng tăng lên đến vô cùng nhanh nhất) ở tử số và mẫu số.

Trong ví dụ của bạn, thuật ngữ chính trong tử số là $\sqrt{n}$, trong khi số hạng thống trị ở mẫu số là $n^8$. Điều này gợi ý rằng chúng tôi sử dụng$b_n = \sqrt{n}/n^8 = n^{-15/2}$, mà thực sự hoạt động tốt ở đây. Chúng tôi nhận được$\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = 1$, và chúng tôi biết $\sum b_n$ hội tụ bởi $p$-kiểm tra. Do đó, loạt phim gốc cũng vậy.

Answer 2

Phương pháp này có tên riêng Kiểm tra so sánh trực tiếp và các trạng thái sau:

Nếu loạt $\sum b_n$ hội tụ và $0 \leqslant a_n \leqslant b_n$ đủ lớn $ N \in \mathbb{N}, n> N$, sau đó $\sum a_n$ aslo hội tụ.

Giữ $\sum a_n \leqslant \sum b_n$ nếu so sánh là $\forall n \in \mathbb{N}$.

Nếu $\sum a_n$ phân kỳ, sau đó $\sum b_n$ là phân kỳ.

Trong sách: Murray H. Protter, Charles B. Jr. Morrey - Giải tích trung gian-Springer (2012) - trang 105, Định lý 9.

Answer 3

Giải pháp của bạn là tốt, nhưng bạn cảm thấy hơi không an toàn, hãy để tôi chỉ ra lý do tại sao thử nghiệm hoạt động: một loạt $\sum_{k= 1}^\infty a_k$, theo định nghĩa, đại diện cho giới hạn của chuỗi của nó tổng một phần $\{s_n\}_{n\in \mathbb N}$, cho $s_n:=\sum_{k=1}^na_k$.

Khi mỗi $a_k$ là tích cực thì chuỗi $\{s_n\}_{n\in \mathbb N}$là một chuỗi các số thực dương tăng dần và do đó có thể chứng tỏ rằng nó hội tụ nếu và chỉ khi có giới hạn của nó .

Nếu $a_k:=\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k}}}/(k+(k+k^2)^2)^2$ thì thật dễ dàng để thấy rằng $0\leqslant a_k\leqslant k^{-2}$ cho mỗi $k\in \mathbb N $, và vì thế

$$ 0\leqslant s_n\leqslant \sum_{k=1}^n k^{-2}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N \\ \text{ and }\quad \sum_{k=1}^n k^{-2}\leqslant \sum_{k=1}^\infty k^{-2}=\frac{\pi ^2}{6}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N \\ \text{ therefore }\quad 0\leqslant s_n\leqslant \frac{\pi ^2}{6}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N $$

$\Box$