Ý nghĩa của phép đồng biên đồng biên này đối với siêu hình học nhóm là gì?
$\require{AMScd}$ Để cho $\Gamma=\{1,\gamma\}$ là một nhóm bậc 2. Trong bài toán của tôi từ cohomology Galois của các nhóm rút gọn thực, tôi đã đi đến một sơ đồ giao hoán của $\Gamma$-môđun (nhóm abelian với $\Gamma$-action) \ begin {method *}% \ label {e: cd} \ begin {CD} 1 @ >>> Q_1 @ >>> Q_2 @ >>> Q_3 @ >>> 1 \\ @. @VV {\ rho_1} V @VV {\ rho_2} V @VV {\ rho_3} V \\ 1 @ >>> X_1 @ >>> X_2 @ >>> X_3 @ >>> 1 \\ @. @VV {\ alpha_1} V @VV {\ alpha_2} V @ VV {\ alpha_3} V \\ 1 @ >>> P_1 @ >>> P_2 @ >>> P_3 @ >>> 1 \\ \ end {CD } \ end {method *}, trong đó các hàng là chính xác, nhưng không phải là các cột (và$\alpha_k\circ\rho_k\neq 0$). Các hàng trên cùng và dưới cùng của sơ đồ phân chia theo quy tắc:$$Q_2=Q_1\oplus Q_3\quad\text{ and }\quad P_2=P_1\oplus P_3,$$ và các phần tách này tương thích: $$ \alpha_2(\rho_2(0,q_3))= \big(\,0,\,\alpha_3(\rho_3(q_3))\,\big)\tag{$*$} $$ cho $q_3\in Q_3$. Tôi coi các nhóm siêu âm Tate$${\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)\quad\text{ and } \quad{\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1),$$ trong đó cả hai phức hợp ngắn đều tính bằng độ $(-1,0)$.
Dưới đây tôi xây dựng "bằng tay" phép đồng cấu biên giới kinh điển $$\delta\colon\, {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\to X _3)\,\longrightarrow\, {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1),$$
Câu hỏi. Làm thế nào tôi có thể nhận được sự đồng cấu biên giới này từ một loại lý thuyết chung?
Nhận xét. Đối với một nhóm$\Gamma$của bậc 2 (và cả cho bất kỳ nhóm tuần hoàn nào$\Gamma$) cohomology và hypercohomology của Tate là tuần hoàn với chu kỳ 2. Do đó, $\delta$ là một bản đồ $${\Bbb H}^1(\Gamma,\, Q_3\to X_3\to 0)\, \longrightarrow \, {\Bbb H}^2(\Gamma,\, 0\to X_1\to P_1),$$ trong đó cả hai phức hợp đều ở độ $(-2,-1,0)$.
Xây dựng. Chúng tôi bắt đầu với$[ q_3, x_3]\in {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)$. Đây$( q_3, x_3)\in Z^0(\Gamma,Q_3\to X _3)$, nghĩa là, \ begin {method} q_3 \ in Q_3, \ quad x_3 \ in X_3, \ quad \, ^ {\ gamma \ kern -0.8pt} q_3 + q_3 = 0, \ qquad \, ^ {\ gamma \ kern -0.8pt} x_3- x_3 = \ rho_3 (q_3). \ Tag {$**$} \ end {method} Chúng tôi nâng lên một cách chính tắc $ q_3$ đến $$ q_2=(0, q_3)\in Q_1\oplus Q_3= Q_2,$$ và chúng tôi nâng $ x_3$cho một số $ x_2\in X _2$. Chúng tôi viết$$\alpha_2( x_2)=( p_1, p_3)\in P_1\oplus P_3=P_2,$$ Ở đâu $ p_3=\alpha_3( x_3)\in P_3$ và $ p_1\in P_1$. Chúng tôi đặt$$ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2-\rho_2( q_2).$$ Kể từ khi $(*)$ chúng ta có $$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_3- x_3=\rho_3( q_3),$$ chúng ta thấy rằng $ x_1\in X _1$. Chúng tôi tính toán:$$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_1+ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt}(\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-{}^{\gamma\kern -0.8pt}\rho_2(0, q_3)+ (\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-\rho_2(0, q_2)=-\rho_2(0,\,^{\gamma\kern -0.8pt} q_3+ q_3)=0$$ bởi $(**)$. Hơn nữa,\begin{align*} \alpha_1( x_1)&=\,^{\gamma\kern -0.8pt}\alpha_2(x_2)-\alpha_2(x_2)-\alpha_2(\rho_2(q_2))\\ &=\,^{\gamma\kern -0.8pt}( p_1, p_3)-( p_1, p_3)-( 0,\alpha_3(\rho_3( q_3)))\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_3-p_3-\alpha_3(\rho_3(q_3))\big)\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,\alpha_3(\,^{\gamma\kern -0.8pt}x_3-x_3-\rho_3(q_3))\big)\\ &=(\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1- p_1,0) \end{align*} bởi $(*)$ và $(**)$. Như vậy$$\alpha_1(x_1)=\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1-p_1.$$ Chúng ta thấy rằng $(x_1, p_1)\in Z^0(\Gamma, X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1)$. Chúng tôi đặt$$\delta[ q_3, x_3]=[ x_1, p_1]\in {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1).$$ Một kiểm tra đơn giản cho thấy rằng bản đồ $\delta$ là một phép đồng cấu được xác định rõ.
Trả lời
Tôi tin rằng cách dễ nhất để xử lý điều này là theo chủ nghĩa hình thức của các danh mục tam giác. Bạn có thể làm điều đó theo nhiều cách khác nhau: làm việc với danh mục dẫn xuất không bị ràng buộc hoặc (có thể dễ dàng hơn) thay thế từng mô-đun$M$ với $\operatorname{Hom}_\Gamma(\mathcal R,M)$ Ở đâu $\mathcal R$ là giải pháp hoàn chỉnh cho $\Gamma$, tức là phức hợp 2 chu kỳ không giới hạn tiêu chuẩn $$\cdots\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\cdots$$của $\Gamma$-môđun.
Hãy để sau đó $X_1\to X_2\to X_3\to\Sigma X_1$ là một tam giác chính xác trong danh mục tam giác tùy ý và để $Q_3\to X_2\to P_1$là các hình thái tùy ý với tổng hợp bằng không. Để cho$P$ là chất xơ của $X_1\to P_1$ và để $Q$ là sợi nhỏ của $Q_3\to X_3$. Mục đích của chúng tôi là xây dựng từ tất cả những gì một bản đồ chuẩn$Q\to\Sigma P$. Nó chỉ ra rằng có một bản đồ như vậy mà còn là một phép đẳng cấu nếu và chỉ khi$Q_3\to X_2\to P_1$ là chính xác.
Kể từ khi tổng hợp $Q_3\to X_2\to P_1$ là 0, bản đồ $X_2\to P_1$ các yếu tố thông qua sợi nhỏ của $Q_3\to X_2$, $X_2\to Q_0$và bản đồ $Q_3\to X_2$ các yếu tố thông qua chất xơ $P_0\to X_2$ của $X_2\to P_1$. Vì vậy, tất cả trong tất cả$X_1\to P_1$ các yếu tố trong tổng hợp $X_1\to X_2\to Q_0\to P_1$, trong khi $Q_3\to X_3$ các yếu tố trong tổng hợp $Q_3\to P_0\to X_2\to X_3$.
Trước tiên, hãy lưu ý rằng trong những trường hợp này, sợi nhỏ của $Q_3\to P_0$ là đồng phân với sợi của $Q_0\to P_1$; biểu thị nó bằng$H$, tổng hợp $P_0\to H\to Q_0$ là hỗn hợp $P_0\to X_2\to Q_0$.
Chúng tôi nhận được tám trường hợp của tiên đề bát diện, cho chúng tôi biết rằng đối với các vật liệu tổng hợp khác nhau $f\circ g$ có những hình tam giác chính xác $\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)\to\operatorname{cofibre}(f\circ g)\to\operatorname{cofibre}(f)=\Sigma\operatorname{fibre}(f)$ và $\operatorname{fibre}(g)\to\operatorname{fibre}(f\circ g)\to\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)=\Sigma\operatorname{fibre}(g)$. Nói một cách chính xác, không phải tất cả chúng đều cần thiết, nhưng để đầy đủ, hãy để tôi liệt kê tất cả chúng.
Cặp có thể kết hợp | đưa ra hình tam giác chính xác |
---|---|
$Q_3\to P_0\to X_2$ | $H\to Q_0\to P_1\to\Sigma H$ |
$Q_3\to X_2\to X_3$ | $X_1\to Q_0\to Q\to \Sigma X_1$ |
$Q_3\to P_0\to X_3$ | $\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$ |
$P_0\to X_2\to X_3$ | $P\to X_1\to P_1\to\Sigma P$ |
$X_1\to X_2\to Q_0$ | $Q_3\to X_3\to Q\to\Sigma Q_3$ |
$X_1\to X_2\to P_1$ | $P\to P_0\to X_3\to\Sigma P$ |
$X_1\to Q_0\to P_1$ | $\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$ |
$X_2\to Q_0\to P_1$ | $Q_3\to P_0\to H\to\Sigma Q_3$ |
Để đặt tất cả trong một sơ đồ duy nhất - như sau, các đường có ba đối tượng trên chúng đại diện cho các hình tam giác chính xác; mọi thứ đi làm.