Các phần tử của hai nhóm con bình thường abel có giao nhau không?

Aug 16 2020

Vì thế $H$$K$là các nhóm con abelian bình thường của một số nhóm. Nó có đúng cho tất cả không$h \in H$ và cho tất cả $k \in K$ cái đó $hk=kh$? Tôi không nghĩ rằng tuyên bố này là hợp lệ nhưng tôi không thể tìm thấy một ví dụ đếm (khá đơn giản).

Trả lời

8 AnginaSeng Aug 16 2020 at 18:14

Để cho $G=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ là nhóm thứ tự của quaternion $8$. Xem xét$H=\{\pm1,\pm i\}$$K=\{\pm1,\pm j\}$.

2 DavidA.Craven Aug 16 2020 at 18:26

Ví dụ phản chứng dễ dàng nhất là nhóm nhị diện $D_8$, giả sử được tạo bởi $a$ đặt hàng $4$$b$ đặt hàng $2$. Mọi yếu tố của$D_8$ nằm trong một nhóm con bình thường của thứ tự $4$: $\{1,a,a^2,a^3\}$, $\{1,a^2,b,a^2b\}$$\{1,a^2,ab,a^3b\}$. Tất nhiên chúng đều là abelian, vì chúng có thứ tự$4$. Nếu tuyên bố của bạn được giữ nguyên, thì$D_8$ do đó sẽ là abelian, mà tất nhiên là không.

Ví dụ về $Q_8$từ hai câu trả lời còn lại là hoàn toàn hợp lệ, tất nhiên. Trên thực tế, nếu$G$ là bất kỳ nhóm trật tự phi abelian nào $p^3$ thì mọi phần tử nằm trong một nhóm con của thứ tự $p^2$ (nhất thiết là abelian và bình thường), và vì vậy mọi nhóm thứ tự không abel $p^3$ là một ví dụ ngược lại.

1 Arthur Aug 16 2020 at 18:15

Bất kỳ nhóm Hamilton nào cũng sẽ cung cấp cho bạn một ví dụ ngược lại theo định nghĩa, vì bất kỳ nhóm con chu trình nào đều là abelian và bình thường, tuy nhiên bạn có thể tìm thấy hai nhóm con tuần hoàn có bộ tạo không đi lại.

Ví dụ nhỏ nhất như vậy là nhóm quaternion $Q_8$.