Chứng minh $(V_1 \cap V_2)^{\perp_L} = V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L}$ nếu $f$ không thoái hóa

Question

Để cho $f(\alpha, \beta)$ là một dạng song tuyến trên $n$-không gian tuyến tính chiều $V$ qua trường số $F$. Chứng minh, nếu$f(\alpha, \beta)$ không thoái hóa, đối với bất kỳ không gian con nào $V_1$ và $V_2$ của $V$, sau đó \begin{align*} & (V_1 \cap V_2)^{\perp_L} = V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L}, \\ & (V_1 \cap V_2)^{\perp_R} = V_1^{\perp_R} + V_2^{\perp_R}. \end{align*} nơi cho bất kỳ không gian con nào $W$ của $V$, nhóm trực giao bên trái $W^{\perp_L}$và nhóm trực giao bên phải $W^{\perp_R}$ được xác định bởi \begin{align*} & W^{\perp_L} = \{\alpha \in V: f(\alpha, \beta) = 0, \forall \beta \in W\}, \\ & W^{\perp_R} = \{\beta \in V: f(\alpha, \beta) = 0, \forall \alpha \in W\}. \end{align*}

Theo định nghĩa, tôi có thể cho thấy (theo hướng này, sự không suy thoái của $f$ không cần thiết) mà $V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L} \subseteq (V_1 \cap V_2)^{\perp_L}$. Tôi không có nhiều suy nghĩ về hướng khác, cụ thể là làm thế nào để không thoái hóa$f$ nên được AP dụng?

Answer 1

$\newcommand{\lbot}{\perp_L}$ $\newcommand{\rbot}{\perp_R}$

Đầu tiên chúng tôi chứng minh bằng định nghĩa rằng \begin{align*} & (V_1 + V_2)^{\lbot} = V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}; \tag{1} \\ & (V_1 + V_2)^{\rbot} = V_1^{\rbot} \cap V_2^{\rbot}. \tag{2} \end{align*} Để cho $\alpha \in (V_1 + V_2)^{\lbot}$, sau đó cho bất kỳ $\beta_1 \in V_1, \beta_2 \in V_2$, chúng ta có \begin{align*} & f(\alpha, \beta_1 + \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) + f(\alpha, \beta_2) = 0, \\ & f(\alpha, \beta_1 - \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) - f(\alpha, \beta_2) = 0. \end{align*}

Vì thế $f(\alpha, \beta_1) = f(\alpha, \beta_2) = 0$, I E, $\alpha \in V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}$. Ngược lại, nếu$\alpha \in V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}$, sau đó cho bất kỳ $\beta = \beta_1 + \beta_2 \in V_1 + V_2$, Ở đâu $\beta_1 \in V_1, \beta_2 \in V_2$, chúng ta có $$f(\alpha, \beta_1 + \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) + f(\alpha, \beta_2) = 0 + 0 = 0,$$ I E, $\alpha \in (V_1 + V_2)^{\lbot}$. Đẳng thức thứ hai có thể được chứng minh tương tự.

Nếu $f(\alpha, \beta)$ không suy biến, chúng tôi chỉ ra rằng đối với bất kỳ không gian con nào $W$ của $V$, $W = (W^{\lbot})^{\rbot}$. Theo định nghĩa,$W \subset (W^{\lbot})^{\rbot}$. Để hiển thị hướng khác, nó có thể được hiển thị bằng$f$ không suy biến đối với bất kỳ không gian con nào $W$, $$\dim(W^{\lbot}) = \dim(W^{\rbot}) = \dim(V) - \dim(W).$$

Sau đó nó sau đó \begin{align*} \dim((W^{\lbot})^{\rbot}) = \dim(V) - \dim(W^{\lbot}) = \dim(V) - (\dim(V) - \dim(W)) = \dim(W). \tag{*} \end{align*} Sự bình đẳng này và $W \subset (W^{\lbot})^{\rbot}$ ngụ ý rằng $W = (W^{\lbot})^{\rbot}$. Tương tự,$W = (W^{\rbot})^{\lbot}$.

Bây giờ bởi $(1)$ và $(2)$, chúng ta có \begin{align*} (V_1 \cap V_2)^{\lbot} = ((V_1^{\lbot})^{\rbot} \cap (V_2^{\lbot})^{\rbot})^{\lbot} = ((V_1^{\lbot} + V_2^{\lbot})^{\rbot})^{\lbot} = V_1^{\lbot} + V_2^{\lbot}. \end{align*} Điều này hoàn thành bằng chứng.

(Sự bình đẳng $(*)$ có thể được thiết lập bằng cách xây dựng một bản đồ giữa $W^{\lbot}$ đến không gian giải pháp đầu tiên $\dim(W)$ cột của ma trận $(f(\alpha_i, \alpha_j))$.)