Điều gì cần làm để chứng minh rằng không gian tiếp tuyến trên một đa tạp là một không gian vectơ? [bản sao]
Tôi hiện đang làm việc với định nghĩa vectơ tiếp tuyến là các lớp tương đương của đường cong. Vì thế$v =[\gamma]$ và $w=[\sigma]$ Ở đâu $v,w$là các vectơ. Tôi muốn chứng minh rằng tổng của hai lớp tương đương này cũng là một lớp tương đương để cung cấp cho nó cấu trúc không gian vectơ. Chúng tôi định nghĩa tổng là:
$v+w= [\phi^{-1} \circ (\phi \circ \gamma + \phi \circ \sigma)]$
Ở đâu $\phi$là một biểu đồ. Tôi hiểu rằng không thể thêm các đường cong khi chúng thuộc về đa tạp, đó là lý do tại sao trước tiên chúng tôi lập bản đồ sau đó đưa vào thực nơi có thể thực hiện điều đó. Vì vậy, bây giờ tổng được xác định, làm thế nào tôi có thể chứng minh rằng đó là một lớp khác tại điểm$p$ trên $M$. Có đủ để đảm bảo rằng bản đồ đi qua$p$? Các câu hỏi tương tự cũng xảy ra với phép nhân vô hướng. Cảm ơn
Trả lời
Sau khi đọc bài đăng của bạn cẩn thận hơn, đây là tóm tắt một câu về sai lầm của bạn: bạn đang cố gắng thêm (và nhân vô hướng) các đường cong trong$\Bbb{R}^n$, hơn là vận tốc của chúng. Như bạn đã quan sát, việc thêm các đường cong sẽ làm rối tung mọi thứ với các điểm cơ sở.
Như một tập hợp, chúng tôi có $T_pM$ là tập hợp các lớp tương đương của các đường cong mịn, $[\gamma]$, Ở đâu $\gamma$ được xác định trên một số khoảng mở có chứa $0$ như vậy mà $\gamma(0)=p$. Bây giờ, đối với bất kỳ biểu đồ nào$(U,\phi)$ về vấn đề $p$, xem xét chức năng $F_{\phi,p}:T_pM \to \Bbb{R}^n$ định nghĩa là \begin{align} F_{\phi,p}([\gamma]):= (\phi\circ \gamma)'(0). \end{align}Hàm này được xác định rõ vì cách xác định quan hệ tương đương. Lưu ý ý nghĩa trực quan:$\gamma$ là một đường cong với các giá trị trong đa tạp $M$, vì vậy nếu chúng ta sử dụng biểu đồ, chúng ta có thể nhận được một đường cong tương ứng $\phi\circ \gamma$ với các giá trị trong không gian Banach (tức là một không gian vectơ chuẩn tắc) $\Bbb{R}^n$, và chúng ta biết cách tính toán hoạt động trong việc thiết lập không gian vectơ. Vì vậy, tất cả bản đồ này$F_{\phi,p}$ có phải nó có một đường cong $[\gamma]$ và ánh xạ nó tới "vectơ vận tốc" $(\phi\circ \gamma)'(0)$. Tôi hy vọng điều này là trực quan (nếu không, chỉ cần vẽ một vài hình ảnh để xem từng đối tượng ở đâu).
Bây giờ, cũng dễ dàng xác minh rằng $F_{\phi,p}$là một chức năng sinh vật; Tôi để nó cho bạn để xác minh điều đó$G_{\phi,p}:\Bbb{R}^n\to T_pM$ định nghĩa là \begin{align} G_{\phi,p}(v):= [t\mapsto \phi^{-1}(\phi(p)+tv)] \end{align}là hàm nghịch đảo. Nói cách khác, những gì chúng tôi đang làm là chúng tôi đang lấy một vector$v\in\Bbb{R}^n$và xem xét đường thẳng $t\mapsto \phi(p)+tv$. Đây là một đường cong dựa trên điểm$\phi(p)$, theo hướng $v$. Từ$\phi$ là một dạng đồng cấu hình, nó theo sau đó đối với các giá trị đủ nhỏ của $t$, chúng ta có $\phi(p)+tv\in \phi(U)=\text{domain}(\phi^{-1})$, do đó chúng ta có thể coi lớp tương đương của đường cong $t\mapsto \phi^{-1}(\phi(p)+tv)$.
Vì vậy, tất cả các ký hiệu bổ sung này đã mang lại những gì? Chà, chúng ta có một hàm bijective$F_{\phi,p}:T_pM\to \Bbb{R}^n$, và tất nhiên, $\Bbb{R}^n$ là một không gian vectơ, vì vậy bằng đại số tuyến tính cơ bản, chúng ta có thể "kéo lại" cấu trúc không gian vectơ của $\Bbb{R}^n$ để làm $F_{\phi,p}$một đẳng cấu tuyến tính. Rõ ràng, ý tôi là chúng ta có thể định nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng$+_{\phi}$ và $\cdot_{\phi}$ (Tôi đặt chỉ số dưới vì cho đến nay mọi thứ đều phụ thuộc vào biểu đồ) như sau: \begin{align} \begin{cases} [\gamma_1]+_{\phi} [\gamma_2]&:= F_{\phi,p}^{-1}\bigg(F_{\phi,p}([\gamma_1])+ F_{\phi,p}([\gamma_2])\bigg)\\ c\cdot_{\phi}[\gamma]&:= F_{\phi,p}^{-1}\bigg(c\cdot F_{\phi,p}([\gamma])\bigg) \end{cases} \end{align}
Nếu bạn mở rộng tất cả các định nghĩa, thì \begin{align} c\cdot_{\phi}[\gamma_1]+_{\cdot}[\gamma_2]= [t\mapsto \phi^{-1}\left(\phi(p) + t(c\cdot (\phi\circ \gamma_1)'(0)+(\phi\circ \gamma_2)'(0))\right)] \end{align} Hy vọng rằng ý tưởng đủ rõ ràng: bạn có sự phản đối, vì vậy bạn chỉ cần đẩy mọi thứ về phía trước, thực hiện các tính toán trong $\Bbb{R}^n$, sau đó đưa mọi thứ trở lại $T_pM$và đó là cách định nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng. Tôi để lại cho bạn rằng tất cả các tiên đề không gian vectơ đều được thỏa mãn và điều đó$F_{\phi,p}$ là một đẳng cấu tuyến tính, v.v.
Một điều cuối cùng cần lưu ý là cho đến nay phép cộng và phép nhân vô hướng đã được xác định bằng cách sử dụng một biểu đồ cụ thể $(U,\phi)$nhưng trên thực tế, đây là một bài tập quy tắc chuỗi đơn giản để xác minh rằng nếu bạn có một biểu đồ khác $(V,\psi)$, sau đó $+_{\phi}=+_{\psi}$ và $\cdot_{\phi}=\cdot_{\psi}$, vì vậy cấu trúc không gian vectơ trên $T_pM$ thực sự không phụ thuộc vào biểu đồ, do đó chúng tôi chỉ biểu thị nó là $+$ và $\cdot$như thường lệ. Tôi để nó cho bạn để mở rộng các định nghĩa, sử dụng quy tắc chuỗi, v.v. để xác minh điều này. Nếu bạn gặp khó khăn, hãy cho tôi biết, có thể tôi có thể giải thích thêm.