Điều kiện năng lượng dương trong lý thuyết trường lượng tử đối với người Hamiltonians liên quan đến các vectơ Giết chết giống thời gian khác nhau
Hiệu ứng Unruh là một ví dụ nổi tiếng trong đó hai người Hamiltonians $H$ và $\hat H$được liên kết với các trường vectơ Killing giống thời gian khác nhau, cả hai đều có giới hạn dưới, trong cùng một biểu diễn không gian Hilbert, mặc dù chúng không liên quan với nhau theo bất kỳ phép đẳng thời gian nào. Câu hỏi này hỏi về một sự tổng quát hóa.
Hãy xem xét một lý thuyết trường lượng tử trong không thời gian phẳng, được biểu thị bằng các toán tử trường tác động trên không gian Hilbert. Để cho$K$ và $\hat K$là hai trường vectơ Killing giống thời gian khác nhau, không nhất thiết phải liên quan đến nhau bởi bất kỳ phép đẳng nào và không nhất thiết phải bao phủ toàn bộ không thời gian. (Ví dụ, hãy nghĩ đến tọa độ Rindler.)$R$ là vùng không thời gian trong đó cả hai trường vectơ Killing đều được xác định và xem xét đại số của các vật thể quan sát trong $R$. Để cho$H$ và $\hat H$ là các toán tử (Hamiltonians) tạo ra các bản dịch của các vật thể quan sát này cùng $K$ và $\hat K$, tương ứng.
Câu hỏi: Giả sử rằng đại số được biểu diễn trên không gian Hilbert theo cách sao cho phổ của một trong các Hamiltonians$H$có giới hạn thấp hơn. Điều này có ngụ ý rằng quang phổ của Hamilton khác$\hat H$ cũng có một giới hạn dưới (trong cùng một biểu diễn không gian Hilbert)?$^\dagger$
Tôi không tìm kiếm một bằng chứng kín nước, chỉ là một lập luận thuyết phục - một cái gì đó đủ rõ ràng để tôi có thể kiểm tra từng bước trong lý thuyết trường tự do.
Nhân tiện, trong trường hợp điều này không quen thuộc: mật độ Hamilton không nhất thiết là xác định dương trong lý thuyết trường lượng tử, thậm chí không phải trong một biểu diễn mà bản thân Hamilton là xác định dương. Xem Vàister (2005) "Bất bình đẳng năng lượng trong lý thuyết trường lượng tử",https://arxiv.org/abs/math-ph/0501073, cho biết (trang 2):
trường lượng tử từ lâu đã được biết là vi phạm tất cả các điều kiện năng lượng điểm như vậy [4] và, trong nhiều mô hình, mật độ năng lượng trên thực tế không bị giới hạn từ bên dưới đối với lớp trạng thái vật lý hợp lý.
$^\dagger$ Câu hỏi đề cập đến cách các toán tử được biểu diễn trên không gian Hilbert. Điều đó quan trọng bởi vì$H$thường không có giới hạn dưới trong hầu hết các biểu diễn không gian Hilbert ngay cả khi nó có ở một trong số chúng. Điều kiện phổ là một thuộc tính của một biểu diễn không gian Hilbert cụ thể, không chỉ là một đặc tính của đại số trừu tượng của các vật quan sát được.
Trả lời
Câu trả lời là không , và trớ trêu thay, ví dụ mà tôi sử dụng để thúc đẩy câu hỏi thực sự là một ví dụ ngược lại: phổ của Rindler Hamilton không có giới hạn dưới.
Rindler Hamiltonian tạo ra tăng trong không thời gian Minkowski. Một biểu thức về tensor ứng suất-năng lượng được thể hiện trong phương trình (25) trong
- Jacobson, "Các lỗ đen và bức xạ Hawking trong không thời gian và các chất tương tự của nó", https://arxiv.org/abs/1212.6821
Biểu thức đó cho thấy rõ ràng rằng Rindler Hamilton không thể có giới hạn dưới.
Trong nhận thức muộn màng, điều này là hiển nhiên bởi tính đối xứng. Nghịch đảo của sự gia tăng cũng giống như sự gia tăng kết hợp với sự phản chiếu không gian. Sự phản xạ trong không gian không làm thay đổi quang phổ, nhưng điều ngược lại làm thay đổi dấu hiệu của quang phổ. Cách duy nhất để chúng có thể giống nhau là nếu phổ đối xứng về 0. Do đó, nếu phổ không có giới hạn trên, nó cũng không thể có giới hạn dưới.
Ghi chú:
Bài báo của Jacobson (trích dẫn ở trên) chỉ xem xét một phần Hamilton thu được bằng cách tích phân trên một "nêm Rindler", nhưng bề mặt tích phân đó không phải là bề mặt Cauchy. Để nhìn thấy Hamilton đầy đủ trên bề mặt Cauchy, chúng ta cần xem xét các nêm Rindler trái và phải với nhau, và khi đó rõ ràng là Hamilton đầy đủ không thể có giới hạn dưới.
Hãy lưu ý rằng một số tài liệu về hiệu ứng Unruh ngầm định nghĩa lại tên "trạng thái chân không" để có nghĩa khác với "trạng thái năng lượng thấp nhất".
Để có phân tích cẩn thận về một số điểm tinh tế, hãy xem Requestardt, "Mối quan hệ chặt chẽ giữa lý thuyết trường lượng tử Rindler và Minkowski trong kịch bản Unruh", https://arxiv.org/abs/1804.09403
Trong QFT (lý thuyết trường lượng tử), mật độ Lagrangian $\mathcal L$được xây dựng để trở thành bất biến Lorentz. Dựa trên Lagrangian, bạn xây dựng mật độ Hamilton$\mathcal H$, được yêu cầu là xác định tích cực.
Nếu bạn thay đổi hệ quy chiếu, về mặt hình thức Lagrangian không thay đổi, do đó Hamilton cũng không thay đổi. Do đó, tính xác định dương của Hamilton sẽ duy trì, ngay cả khi áp dụng cho các trường đã biến đổi.
Giả sử rằng bạn có thể khởi động máy hút Minkowski $(H-E_{\Omega})|{\Omega}\rangle=0$. Sau đó, đối với bất kỳ vectơ Killing giống thời gian nào (mà tôi sẽ coi là chỉ định một đường cong giống thời gian hoặc một số quan sát gia tốc), chúng ta có thể hỏi liệu có chân không. Khu vực cục bộ trong không gian mà trường giết chết được xác định có thể được đặt ở dạng tọa độ Rindler. Nói cách khác, tại mỗi thời điểm thích hợp, chúng ta biết gia tốc là gì và hiệp phương sai tổng quát cho bạn biết rằng vật lý cục bộ cũng giống như không gian Minkowski. Vì vậy, chân không Minkowski cho người quan sát này sẽ giống như một trạng thái nhiệt, có thể với nhiệt độ thay đổi. Nói cách khác, một người quan sát gia tốc luôn nhìn thấy một đường chân trời hiệu quả mà người ta có thể ấn định nhiệt độ, vì vậy câu hỏi của bạn nên được trả lời bằng hiệu ứng Unruh.