$\ell^1$ functor khi bên trái tiếp giáp với functor bóng đơn vị
Trong một bình luận cho câu trả lời này
https://mathoverflow.net/a/38755/1106
Yemon Choi lưu ý rằng " $\ell^1$ functor là functor không gian Banach miễn phí, bên trái liền kề với functor đơn vị hay quên ".
Câu nói này khiến tôi tò mò, nhưng tôi không chắc Yemon đang nói về thể loại và tác phẩm vui nhộn nào ở đây. Tôi tưởng tượng rằng chúng ta có loại không gian Banach (với những bản đồ nào?) Ở một bên, nhưng còn bên kia thì sao? Nếu ai đó có thể điền thông tin chi tiết ở đây, tôi sẽ rất vui. Ngoài ra, nếu bất kỳ ai có tham chiếu đến một văn bản phân tích chức năng có quan điểm này, tôi cũng sẽ rất vui với câu trả lời đó.
Trả lời
Bạn muốn tham gia thể loại $\text{Ban}_1$của không gian Banach và bản đồ ngắn (bản đồ tuyến tính của chuẩn toán tử$\le 1$). Máy xúc bóng đơn vị$U : \text{Ban}_1 \to \text{Set}$ được đại diện bởi $\mathbb{C}$và phần tiếp giáp bên trái của nó gửi một tập hợp $S$ đến sản phẩm phụ của $S$ bản sao của $\mathbb{C}$, hóa ra là $\ell^1(S)$. Điều này nói rằng chúng ta có một sự đào thải tự nhiên
$$\text{Hom}_{\text{Ban}_1}(\ell^1(S), B) \cong \text{Hom}_{\text{Set}}(S, U(B))$$
trong đó nói rằng một bản đồ từ một tập hợp $S$ đến quả bóng đơn vị $U(B)$ của một không gian Banach mở rộng độc đáo và tự do cho một bản đồ ngắn $\ell^1(S) \to B$, bởi "tuyến tính."
Nói một cách trực quan điều này nói lên rằng $\ell^1(S)$ được lấy từ $S$ bằng cách yêu cầu mỗi phần tử của $S$ có định mức $1$ (để nó nằm trong quả cầu đơn vị và có thể nhanh chóng ánh xạ tới bất kỳ phần tử nào khác của bất kỳ quả cầu đơn vị nào khác) và sau đó yêu cầu kết hợp tuyến tính $\sum c_s s$có định mức lớn nhất có thể tương thích với điều này (để nó có thể ánh xạ ngay tới bất kỳ kết hợp tuyến tính nào khác như vậy trong bất kỳ không gian Banach nào khác). Chúng ta có$ \| \sum c_s s \| \le \sum |c_s|$ bởi bất đẳng thức tam giác và $\ell^1$ chuẩn mực là trường hợp bình đẳng của điều này.
Cấu trúc này khái quát hóa cấu trúc của sản phẩm phụ trong $\text{Ban}_1$, trông như thế này: nếu $B_i$ là một tập hợp các không gian Banach, sản phẩm phụ của chúng trong $\text{Ban}_1$ là sự hoàn thành của tổng trực tiếp không gian vectơ $\bigoplus_i B_i$ liên quan đến "$\ell^1$ định mức " $\sum_i \| b_i \|_{B_i}$.
Xin lỗi vì đã tự quảng cáo, nhưng tôi đi vào chi tiết hơn một chút về các thuộc tính phân loại của $\text{Ban}_1$(ví dụ: nó hoàn chỉnh, hoàn chỉnh và đơn nguyên đối xứng khép kín) trong bài đăng trên blog của tôi Không gian Banach (và các chỉ số Lawvere, và các danh mục đã đóng) . Đặc biệt, tôi cố gắng thúc đẩy việc sử dụng các bản đồ ngắn. Lưu ý rằng nếu chúng ta chỉ làm việc với các bản đồ tuyến tính có giới hạn thì chúng ta không thể hy vọng khôi phục không gian Banach lên đến đẳng áp thông qua thuộc tính phổ quát, trong khi các đẳng cấu trong$\text{Ban}_1$là đẳng áp. Mặt khác, ngôn ngữ phân loại vẫn có khả năng nói về các bản đồ có giới hạn, thông qua cấu trúc khép kín.
Giả sử Bang (Ban, hình học) biểu thị phạm trù có đối tượng là không gian Banach và các hình thái của chúng là các bản đồ tuyến tính có chuẩn $\leq 1$. (Chúng ta có thể làm việc trên cả vô hướng thực hoặc phức.) Đặt Set là danh mục có các đối tượng là các tập hợp và các hình thái của chúng là các hàm.$\newcommand{\Ball}{{\sf ball}}$
Có một trò chơi $\Ball$từ Bang đến Set gán cho mỗi không gian Banach quả bóng đơn vị đóng của nó; điều kiện về các hình thái của Bang đảm bảo rằng mỗi$f:X\to Y$ trong Bang hạn chế ở một chức năng $\Ball(X) \to \Ball(Y)$.
Điều gì sẽ tiếp giáp với $\Ball$trông giống như? Chúng ta có thể sử dụng mô tả / đặc điểm về các đối tượng ban đầu trong các loại dấu phẩy. Vì vậy, đối với mỗi bộ$S$ chúng tôi muốn có một không gian Banach $F(S)$ và một chức năng $\eta_S: S \to\Ball(F(S))$ với thuộc tính phổ quát sau: bất cứ khi nào $E$ là một không gian Banach và $h:S\to \Ball(E)$ là một hàm, có một phép biến hình Bang duy nhất $T: F(S)\to \Ball(E)$ như vậy mà $\Ball(T)\circ\eta_S=f$ như các chức năng.
Làm sáng tỏ các định nghĩa của các hình thái khác nhau: những gì chúng tôi yêu cầu là đối với bất kỳ chức năng nào $h$ từ $S$ đến $E$ thỏa mãn $\Vert h(j)\Vert \leq 1$ cho tất cả $j\in S$, nên có một bản đồ tuyến tính duy nhất $T: F(S) \to E$ như vậy mà $\Vert T(v)\Vert \leq \Vert v\Vert$ cho tất cả $v\in F(S)$ và $T(\eta_S(j))=h(j)$ cho tất cả $j\in S$.
Sau khi cố gắng thúc đẩy mọi thứ, hãy làm Ansatz . Định nghĩa$F(S)$ trở thành không gian Banach $\ell_1(S)$ với tiêu chuẩn thông thường của nó $\Vert\quad\Vert_1$; để cho$(e_j)_{j\in S}$ biểu thị các trình xử lý cơ sở kinh điển trong $\ell_1(S)$. Ứng cử viên khả dĩ duy nhất cho bản đồ tuyến tính$T:\ell_1(S) \to E$ là: xác định $T(e_j):= h(j)$ cho mỗi $j$, và mở rộng theo tuyến tính và liên tục. Để thấy rằng điều này hoạt động, hãy quan sát điều đó đối với bất kỳ$v=\sum_{j\in S} \lambda_j e_j \in \ell_1(S)$ chúng ta có
$$ \Vert \sum_{j\in S} \lambda_j h(j) \Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \Vert h(j)\Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \sup_{j\in S} \Vert h(j)\Vert \leq \Vert v \vert_1 $$
Tóm lại: về cơ bản những gì đối số trên nói rằng một bản đồ tuyến tính có giới hạn từ $\ell_1(S)$ đến một không gian Banach $E$ xác định một hàm bị giới hạn $S\to E$và ngược lại, mọi hàm bị giới hạn $S\to E$ có một phần mở rộng tuyến tính có giới hạn duy nhất $\ell_1(S)\to E$. (Lưu ý rằng đoạn này, được trình bày bằng ngôn ngữ phân tích chứ không phải ngôn ngữ phân loại, chung chung hơn một chút vì tôi không yêu cầu mọi thứ phải có quy chuẩn$\leq 1$; nhưng việc hạn chế Bang dường như là điều cần thiết nếu một người muốn có được một phát biểu hay về sự kiện phân tích này bằng ngôn ngữ của các tính từ.)
Trên thực tế, chúng ta có thể đi xa hơn và nói rằng tính từ đẳng cấu $Set(S, \Ball(E)) \cong {\rm Bang}(\ell_1(S),E)$, mà tiên nghiệm chỉ là một phép phân tích tự nhiên của các tập hợp, có thể được làm giàu thành đẳng cấu trong Bang: $\ell_\infty(S;E) \cong {\mathcal B}(\ell_1(S),E)$.
Đây là tập 20 , trên trang 167 trong bài giảng và bài tập về Phân tích chức năng của Helemskii .
Một cuộc thảo luận phong phú hơn được thực hiện bởi Jiří Rosický trong Không gian Banach có đơn nguyên không? , arXiv: 2011.07543 .