Hạn chế sử dụng tổng Riemann [trùng lặp]

Jan 08 2021

Tôi đang gặp một số khó khăn khi giải quyết giới hạn sau:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n] e + \sqrt[n] {e^2} + ... + \sqrt[n] {e^n}}{n}$$

Câu hỏi này nằm trong phần "Riemann Sum" nên tôi nghĩ rằng chúng ta phải biến nó thành một tích phân, vì vậy:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n] e + \sqrt[n] {e^2} + ... + \sqrt[n] {e^n}}{n} = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n} \sqrt [n] {e^k} = \int_a^b f(x) dx$$

tôi nghĩ vậy$n$là số lượng phân vùng và$1/n$là độ dài của mỗi cái, vì vậy điều này có nghĩa là$b - a = 1$hoặc$b = a+1$, nghĩa là chúng ta chỉ cần tìm một giá trị cho$a$$b$sẽ là điều đó$+1$. Nhưng bây giờ tôi dường như không thể tìm thấy giá trị của$a$cũng không$f(x)$. Làm sao tôi có thể giải quyết việc này?

Trả lời

3 JoséCarlosSantos Jan 08 2021 at 01:58

Lưu ý rằng$\sqrt[n]{e^k}=e^{k/n}$và do đó$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^ne^{k/n}=\int_0^1e^x\,\mathrm dx=e-1.$$