Hầu như các nhóm lớn xếp hạng nhỏ (liên quan đến 3-đa tạp)
Tôi đang tìm lý do tại sao một nhóm 3 đa tạp $G$ đó là hầu như $\mathbb{Z}\times F$, $F$là nhóm tự do không theo chu kỳ hoặc nhóm bề mặt, không thừa nhận sự trình bày trên hai bộ tạo.
Đây là những nhóm cơ bản của 3 đa tạp đóng với $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ hình học (cảm ơn @HJRW đã chỉ ra rằng trường hợp gạch ngang ở trên tương ứng với một ranh giới không trống) và hóa ra là tất cả các hình học khác đều thừa nhận các ví dụ với nhóm cơ bản có hạng hai, với điểm nhấn đáng chú ý là hình học euclid nơi tất cả các nhóm hầu như $\mathbb{Z}^3$(và xếp hạng hai ví dụ là đa tạp Fibonacci). Do đó, các nhóm 3 đa tạp thừa nhận các ví dụ về các nhóm có thứ hạng gần như cao nhưng bản thân họ lại có thứ hạng nhỏ. Tất nhiên ai cũng biết rằng một nhóm miễn phí trên hai máy phát điện hầu như có thứ hạng cao tùy ý.
Tuy nhiên, theo Boileau & Zieschang , Định lý 1.1, hạng của$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ đa tạp phụ thuộc vào chi của bề mặt cơ sở và số lượng các sợi đơn của sợi Seifert (và ít nhất là 3), vì vậy hầu như $\mathbb{Z}\times F$ buộc nhóm ít nhất phải có cùng thứ hạng.
Nguyên nhân nào khiến nhóm con này giới hạn thứ hạng của nhóm môi trường xung quanh từ bên dưới và, chẳng hạn như nhóm tự do hoặc nhóm không có abelian $\mathbb{Z}^3$đừng? Tôi sẽ rất vui nếu có một lý do hình học 3 chiều đang diễn ra ở đây, nhưng tôi cũng rất biết ơn vì đã làm mới lý thuyết nhóm chung của tôi.
Trả lời
Câu hỏi bắt nguồn từ sự giải thích sai Định lý 1.1 trong bài báo của Boileau và Zieschang. Định lý 1.1 loại trừ một số trường hợp hợp lý, đặc biệt, nó không áp dụng cho các đa tạp Seifert đóng (định hướng hoàn toàn) với 3 sợi đơn và cơ sở của chi 0. Một số đa tạp Seifert bị loại trừ này cung cấp các ví dụ phản chứng cho tuyên bố của bạn về thứ hạng$\ge 3$.
Ví dụ, lấy bên ngoài $N$ của một $(p,q)$- nút thắt nút không phải là nhỏ và không phải là cây ba lá. Chi của nút này là$$ g=\frac{(p-1)(q-1)}{2}\ge 2 $$(vì tôi đã loại trừ trefoil có chi 1). Đa tạp$N$ là một bó bề mặt trên vòng tròn có sợi $F$ là bề mặt từng bị thủng của chi $g$. Đơn sắc của sự xơ hóa này là một thứ tự hữu hạn (thực ra, thứ tự là$pq$) homeomorphism $h: F\to F$. Do đó, nếu chúng ta thu gọn ranh giới của$F$ điểm, chúng tôi có được một bề mặt đóng $S$ của chi $g$ và $h$ sẽ chiếu đến một hình thái nhà thứ tự hữu hạn $f: S\to S$. Hình xuyến ánh xạ$M=M_f$ là một loại đa tạp Seifert ${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$ thu được bằng cách Dehn lấp đầy ranh giới của $N$. Cơ sở của sợi Seifert sẽ có ba điểm kỳ dị và chi 0: Hai trong số các sợi kỳ dị đến từ$N$ và một cái đến từ hình xuyến rắn gắn liền với $\partial N$là kết quả của việc lấp đầy Dehn của chúng tôi. (Một thực tế chung là hình xuyến ánh xạ của một dạng đồng cấu bậc hữu hạn của một bề mặt hypebol là một đa tạp Seifert thuộc loại${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$.) Kể từ khi nhóm $\pi_1(N)$ được tạo 2, nhóm thương số $\pi_1(M)$ cũng được tạo 2.