Hyperconcise Math C5: Nhiều đầu vào

Đồ thị của một hàm có n đầu vào độc lập (có thể coi là hàm một điểm) xác định một đối tượng n chiều trong không gian n+1 chiều. Ví dụ: một hàm có một đầu vào y = f(x) (x, y và z là các số thực) xác định một đường cong (có độ dài nhưng diện tích bằng 0), trong khi một hàm có hai đầu vào độc lập (z = f(x, y)) xác định một bề mặt (có diện tích nhưng thể tích bằng 0):

Một số hàm nhiều biến không được xác định cho toàn bộ đường cong hoặc vùng trong không gian đầu vào:

Giới hạn nhiều biến (khi đầu vào tiến gần tùy ý đến điểm (a,b…), đầu ra tiến gần tùy ý đến một số nào đó) có cùng thuộc tính như giới hạn một biến (lưu ý rằng trong bất kỳ giới hạn nhiều biến nào của một hàm số chỉ phụ thuộc vào x, các biến khác có thể được loại bỏ để tạo thành giới hạn một biến). Tuy nhiên, nếu các giới hạn dọc theo mỗi đường cong trong không gian đầu vào chứa (a,b,…) không giống nhau, thì giới hạn tổng thể tại (a,b,…) “không tồn tại” (c là bất kỳ số nào không phụ thuộc vào x):

Việc chứng minh rằng tồn tại một giới hạn nhiều biến thường bao gồm việc sử dụng các thuộc tính giới hạn, đơn giản hóa, thay đổi biến số hoặc Định lý nén.