Làm thế nào để thuyết phục bản thân (tưởng tượng) rằng $\Bbb S^1$- hành động trên $\Bbb S^3$ sửa một hình tròn của mặt cầu?
Làm thế nào để thuyết phục bản thân (tưởng tượng) rằng $\Bbb S^1$- hành động trên $\Bbb S^3$ sửa một hình tròn của mặt cầu?
Do nhận xét này của Jason DeVito , có thể dễ dàng nhận thấy rằng hành động của$\Bbb S^1$ trên $\Bbb S^3\subset \Bbb C^2$ Được định nghĩa bởi $z*(w_1,w_2)=(zw_1,w_2)$ sửa toàn bộ vòng kết nối $\{(0,w):|w|=1\}\subset\Bbb S^3\subset \Bbb C^2$. Nhưng tôi không thể tưởng tượng được, bởi vì hình dung chung của hành động trong đầu tôi là hành động vòng tròn là một dạng quay, nên nó có trục quay và quay quanh trục này có thể cố định nhiều nhất là 2 điểm. Có thể nào trục quay không phải là đường thẳng?
Bây giờ, làm thế nào tôi có thể nghĩ về hành động này một cách hình học? $z*(w_1,w_2)=(zw_1,\bar zw_2)$.
Chỉnh sửa: Hiểu biết của tôi về hành động cuối cùng là: một mặt của$\Bbb S^3$ đang quay theo chiều kim đồng hồ và phía bên kia đang quay ngược chiều kim đồng hồ (trong mặt phẳng khác với hành động đầu tiên) và những hành động này ảnh hưởng đến giữa hình cầu và nó trở nên đáng sợ và gấp khúc ở giữa, Giống như hình trụ nếu chúng ta quay các ranh giới của nó theo các hướng khác nhau thì nó sẽ trở thành gấp khúc ở giữa như vít.
Trả lời
Đối với tôi, cách tôi nghĩ về phép quay là hệ quả của định lý hình xuyến cực đại cho $\mathrm{SO}(n)$. Cụ thể, đưa ra bất kỳ$A\in \mathrm{SO}(n)$ (tức là, một vòng quay của $\mathbb{R}^n$ cái nào sửa $0$), có một số cơ sở của $\mathbb{R}^n$ với thuộc tính mà trên cơ sở này, $A$ bao gồm một loạt các $2$-các khối xoay chiều.
Chính xác hơn là viết $R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$ đối với ma trận quay ngược chiều kim đồng hồ tiêu chuẩn, luôn có cơ sở trực chuẩn của $\mathbb{R}^n$ trong đó $A$ có dạng khối chéo $$A=\begin{cases} \operatorname{diag}\Big(R(\theta_1), R(\theta_2),..., R(\theta_{n/2})\Big) & n \text{ even}\\ \operatorname{diag}\Big(R(\theta_1), R(\theta_2),..., R(\theta_{(n-1)/2},1)\Big) & n \text{ odd}\end{cases}.$$
Điều này cho thấy rằng phép quay về cơ bản là các ý tưởng hai chiều, sau đó được khởi động lên các chiều cao hơn. Trên thực tế, nó đưa ra một công thức để xây dựng tất cả các phép quay của$\mathbb{R}^n$: Chọn bất kỳ $2$-máy bay và xoay nó một chút. Trong phần bù trực giao, chọn bất kỳ$2$-máy bay và xoay nó. Trong phần bù trực giao của hai$2$-máy bay, chọn bất kỳ $2$-mặt phẳng và xoay nó, v.v.
Đang nghĩ về $\mathbb{R}^3$ trong một khoảnh khắc, một vòng quay trong $xy$-máy bay không thay đổi khoảng cách từ một điểm trong $xy$ máy bay đến bất kỳ điểm nào trong $z$-axis. Trên thực tế, một vòng quay trong$xy$ máy bay không ảnh hưởng đến $z$trục. Sự phân hủy ở trên chỉ ra rằng ý tưởng này lan truyền đến các chiều cao hơn. Ví dụ, trong$\mathbb{R}^4$ (với tọa độ, nói, $(x,y,z,t)$) một vòng quay trong $xy$ máy bay không thay đổi khoảng cách từ một điểm trong $xy$ máy bay đến một điểm trong $zt$ máy bay.
Đây là lý do tại sao, ví dụ, hành động của bạn trên $\Bbb S^3$có thể quay hai vật ngược chiều nhau. Thật khó để hình dung, nhưng một vòng quay trong$xy$-máy bay không ảnh hưởng đến $zt$-máy bay, vì vậy không có "xoắn" của $\Bbb S^3$ xảy ra trong hành động của bạn.
Mặt khác, đối với hành động hình trụ của bạn, hãy lưu ý rằng hành động của bạn không phải là chuyển động quay của $\mathbb{R}^3$hạn chế đối với xi lanh, vì vậy không áp dụng điều nào ở trên. Trên thực tế, tôi sẽ không gọi hành động của bạn trên hình trụ là một vòng quay. Nó là một vòng quay trên mỗi thành phần ranh giới, nhưng ai biết nó nằm ở giữa những gì!
Người ta sẽ không mong đợi một vòng quay trong $\mathbb C^2 \approx \mathbb R^4$ để có "trục quay" là một đường, tức là thứ gì đó có kích thước thực $1$. Mặt khác, người ta sẽ mong đợi "trục quay" có thứ nguyên thực$2$, mà nó làm: toàn bộ máy bay $w_1=0$là cố định. Và khi bạn giao mặt phẳng đó với$S^3$ bạn nhận được một vòng tròn được cố định.
Nếu bạn muốn hình dung ví dụ này, nó có thể được thực hiện bằng cách sử dụng $S^3$ là sự hợp nhất một điểm của $\mathbb R^3$, mà tôi sẽ viết là $S^3 = \mathbb R^3 \cup \{\infty\}$. Trong mô hình này, người ta có thể hình dung vòng tròn các điểm cố định là vòng tròn đơn vị trong$x,y$-máy bay: $$\{(x,y,0) \mid x^2 + y^2 = 1\} $$ Bên ngoài vòng tròn các điểm cố định này, mọi quỹ đạo khác của hành động là một vòng tròn và người ta có thể hình dung các quỹ đạo vòng tròn này trong $\mathbb R^3 \cup \{\infty\}$ sử dụng $(r,\theta,z)$tọa độ trụ, như sau. Một trong những quỹ đạo của vòng tròn là$\text{$z$-axis} \cup \{\infty\}$. Sau đó, với mỗi góc không đổi$\theta_0$, nửa mặt phẳng $\theta = \theta_0$ xuyên qua vòng tròn cố định tại một điểm duy nhất $P(\theta_0)$ với tọa độ $(r,\theta,z)=(1,\theta_0,0)$, cạnh biên của nửa mặt phẳng đó là $z$-trục là quỹ đạo và phần còn lại của nửa mặt phẳng được bao phủ bởi một nhóm quỹ đạo vòng tròn tiếp cận điểm duy nhất đó theo một hướng ngày càng nhỏ hơn và hướng tiếp cận $z$-trục theo hướng khác ngày càng lớn hơn (theo hệ mét hypebol $\frac{dr^2+dz^2}{r^2}$ trên nửa mặt phẳng này, đây là những vòng tròn đồng tâm có tâm $P(\theta_0)$).