nếu $\int\limits_a^bf(x)dx=0$ cho tất cả các số hữu tỉ $a<b$, sau đó $f(x)=0$ ae [trùng lặp]

Aug 16 2020

Để cho $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$là một chức năng tích hợp.
Cho thấy rằng nếu$\int\limits_a^bf(x)dx=0$ cho tất cả các số hữu tỉ $a<b$, sau đó $f(x)=0$ tất cả hầu hết mọi nơi.

Gợi ý: Đầu tiên hãy chứng minh$\int\limits_Af=0$ cho $A$ một tập hợp mở, sau đó cho $A$ có thể đo lường được.

Cố gắng của tôi: Hãy $A$ một bộ mở trong $\mathbb{R}$. Sau đó chúng ta có thể viết$A=\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)$ Ở đâu $\left\{(a_k,b_k)\right\}_{k=1}^{\infty}$là một tập hợp rời rạc các khoảng mở với điểm cuối hợp lý (Điều này có khả thi không?)

Vì thế $\int\limits_Afdx=\int\limits_{\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)}fdx=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\int\limits_{a_k}^{b_k}fdx=0$

Sau đó, tôi nên sử dụng kết quả như thế nào để có thể đo lường $A$ và hơn nữa, sau khi làm như vậy, $\int\limits_{\mathbb{R}}f=0$ ngụ ý $f=0$ae?
Đánh giá cao sự giúp đỡ của bạn

Trả lời

ratatuy Aug 16 2020 at 02:27

Tôi nghĩ rằng nó là đơn giản. Để cho$A=\{x:f(x)\not=0\}$ $B=\{x:f(x)=0\}$

$\mu (D)$ là thước đo của tập hợp $D$. Chúng tôi biết$\mu (A)=0$$\mu (B)=b-a$. Tích phân Lebesgue:$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{A} f(x)d\mu+\int_{B} f(x)d\mu=0$ Bởi vì $\int_{A} f(x)d\mu=0$( bởi vì $f(x)=0$ hầu như ở khắp mọi nơi) và $\int_{B} f(x)d\mu=0$

Keen-ameteur Aug 16 2020 at 02:46

Bạn có thể thực hiện một thủ thuật cổ điển để xác định bộ sưu tập

$$ \mathcal{E}:=\{ A\in \mathcal{B}_\mathbb{R}: \int_A fdx=0 \}, $$

và sau đó cho thấy rằng $\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$. Từ$f$ có thể đo lường được kết quả mong muốn cuối cùng sẽ tuân theo vì nếu không $\pm \int_{B_\pm} fdx>0$ Ở đâu $B_\pm=\{x\in\mathbb{R}: \pm f(x)>0\}$.

Sau đó, bạn có thể xác minh rằng $\mathcal{E}$ là một $\sigma$-algebra, vì vậy nếu bạn hiển thị $A\in \mathcal{E}$ cho bất kỳ bộ mở nào $A$, sau đó nó sẽ theo đó $\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$.

Cuối cùng vì các khoảng có điểm cuối hợp lý là cơ sở có thể đếm được của cấu trúc liên kết trên $\mathbb{R}$, cho bất kỳ mở nào $A\subseteq \mathbb{R}$ tồn tại một tập hợp các khoảng có điểm cuối hợp lý, $\{ (a_k,b_k) \}_{k=1}^\infty$ như vậy mà $A=\cup (a_k,b_k)$. Sử dụng DCT, bạn sẽ có được điều đó$\int_A f =0$.