Những mạng tinh thể hoàn chỉnh nào là đồng phân với sản phẩm của các mạng tinh thể bất khả xâm phạm?
Đưa ra bất kỳ họ vĩ độ hoàn chỉnh nào $\{\mathcal{L}_i\}_{i\in I}$ st cho tất cả $i\in I$ chúng tôi biểu thị $\mathcal{L}_i=(X_i,\leq_i,\wedge^i,\lor^i)$ và $X=\prod_{i\in I}X_i$ lưu ý rằng chúng ta có thể xác định một mạng tinh thể hoàn chỉnh $\mathcal{L}=\prod_{i\in I}\mathcal{L}_i$ (gọi nó là sản phẩm của họ) trên $X$ st $\mathcal{L}=(X,\leq,\wedge,\lor)$, được định nghĩa cho $a,b\in X$ như sau: $a\leq b\iff \forall i\in I(\pi_i(a)\leq_i\pi_i(b))$ còn nếu $S\subseteq X$ sau đó $\small\bigwedge_{f\in S}f=\{(i,\bigwedge^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ và $\small\bigvee_{f\in S}f=\{(i,\bigvee^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ ngoài ra, chúng tôi gọi bất kỳ mạng tinh thể nào có một phần tử là tầm thường và nói rằng một mạng tinh thể hoàn chỉnh $\mathfrak{L}$ không thể phục hồi được nếu không tồn tại một họ gồm hai hoặc nhiều mạng hoàn chỉnh không tầm thường $\{\mathfrak{L}_{i}\}_{i\in I}$ st $\mathfrak{L}\cong \prod_{i\in I}\mathfrak{L}_i$. Bây giờ với tất cả những điều đã nói, câu hỏi của tôi là khi nào thì các mạng tinh thể hoàn chỉnh là đồng hình với sản phẩm của các mạng bất khả quy? Ví dụ: có bất kỳ tiêu chí "cơ bản" hoặc "hữu ích" nào để xác định điều này không? Ví dụ nào về các mạng hoàn chỉnh không đồng phân với bất kỳ sản phẩm nào của mạng bất khả xâm phạm? Ai đó có thể cho tôi một vài trong số này?
Rõ ràng là bất kỳ mạng tinh thể hoàn chỉnh hữu hạn nào đều là đồng phân của một sản phẩm của các mạng bất khả quy, vì nếu bản thân mạng là bất khả quy thì chúng ta hoàn thành nếu không thì chúng ta có thể phân chia điều này thành hai mạng là các mạng con của mạng mẹ và do đó có thể biểu diễn dưới dạng mạng tinh thể trên các tập nhỏ hơn tập cha, do đó lặp đi lặp lại quá trình này cuối cùng sẽ cung cấp cho chúng ta một họ các mạng bất khả quy có sản phẩm của chúng bằng với cha của chúng ta (quá trình này phải kết thúc đối với mỗi mạng này sẽ nằm trên các tập có kích thước nhỏ hơn và theo định nghĩa thì bất kỳ mạng nhỏ nào là không thể quy đổi vì vậy nếu chúng ta tình cờ giảm bất kỳ mạng nào như vậy thành một tập hợp trên một phần tử thì chúng ta đã hoàn thành).
Ngoài ra nếu bất kỳ mạng tinh thể hoàn chỉnh $L_1\cong L_2\times L_3$không phải là đẳng cấu với một nhóm các mạng tinh thể bất khả quy$L_2$ hoặc là $L_3$không phải là đồng cấu với một sản phẩm của mạng bất khả quy, do đó, bằng cách áp dụng quy trình trước đó, chúng ta thấy bất kỳ mạng nào không phải là đẳng cấu đối với một nhóm các mạng bất khả xâm phạm phải chứa vô số tiểu kết cũng không phải là đồng cấu với sản phẩm của mạng bất khả xâm phạm ..
Trả lời
Đối với mạng phân bố , có một cách khá đơn giản để hiểu những câu hỏi này. Cụ thể, lưu ý rằng nếu$L=A\times B$ là sản phẩm của hai mạng, các phần tử $(1,0)$ và $(0,1)$ là sự bổ sung của nhau (sự tham gia của họ là $1$ và cuộc gặp gỡ của họ là $0$). Ngược lại, nếu$L$ là một mạng tinh thể phân bố và $a,b\in L$ là sự bổ sung của nhau, sau đó $L\cong A\times B$ Ở đâu $A=\{x\in L:x\leq a\}$ và $B=\{x\in L:x\leq b\}$. Thật vậy, có một bản đồ duy trì trật tự$f:L\to A\times B$ lập bản đồ $x$ đến $(x\wedge a,x\wedge b)$ và bản đồ $A\times B\to L$ gửi $(x,y)$ đến $x\vee y$ nghịch đảo với $f$ từ $L$ là phân phối.
Vì vậy, một mạng tinh thể phân bố là không thể điều chỉnh được vì nó không có các phần tử bổ sung quan trọng. Tập hợp các phần tử bổ sung trong bất kỳ mạng phân phối nào$L$ tạo thành đại số Boolean mà tôi sẽ gọi $B(L)$. Hơn nữa, nếu một mạng tinh thể phân bố$L$ là một sản phẩm $\prod_{i\in I} L_i$, sau đó $B(L)= \prod_{i\in I} B(L_i)$.
Đặc biệt, nếu $L$ là sản phẩm của các mạng tinh thể bất khả quy (không thường xuyên) $\prod_{i\in I} L_i$, sau đó $B(L)=\prod_{i\in I}B(L_i)\cong \mathcal{P}(I)$, Vì mỗi $B(L_i)$ chỉ là mạng tinh thể hai phần tử $\{0,1\}$. Hơn thế nữa,$L_i\cong\{x\in L:x\leq e_i\}$ Ở đâu $e_i\in L$ Là $1$ trên $i$thứ phối hợp và $0$ trên những người khác và những yếu tố này $e_i$ chỉ là các nguyên tử của đại số Boolean $B(L)$. Với sự xác định này, phép chiếu$L\to L_i$ chỉ là bản đồ $x\mapsto x\wedge e_i$.
Do đó, chúng tôi kết luận rằng một mạng tinh thể phân bố $L$ là đẳng tích của một sản phẩm của các mạng bất khả quy trong bản đồ $f:L\to\prod_{i\in I}L_i$ là một đẳng cấu, trong đó $I$ là tập hợp các nguyên tử của $B(L)$, $L_i=\{x\in L:x\leq i\}$, và $i$tọa độ thứ của $f$ là bản đồ $x\mapsto x\wedge i$. Nếu$L$ đã hoàn thành, những $L_i$cũng sẽ tự động hoàn thành. Đặc biệt, một điều kiện cần thiết để$L$ để được đồng phân với một sản phẩm của mạng tinh thể bất khả xâm phạm là $B(L)$ để được đẳng tích với đại số Boolean tập lũy thừa.
Vì vậy, ví dụ, nếu $L$ là một đại số Boolean hoàn chỉnh không phải là đẳng cấu với một tập lũy thừa, khi đó $L$không phải là sản phẩm của mạng tinh thể bất khả quy. Đối với một ví dụ rõ ràng,$L$ có thể là mạng của các tập con mở thông thường của $\mathbb{R}$, hoặc mạng tinh thể của các tập con Borel của $\mathbb{R}$ bộ modulo của thước đo Lebesgue $0$. Đối với một loại ví dụ khác,$L$có thể là mạng của các tập con mở của tập Cantor. Sau đó$B(L)$ là đại số Boolean của các tập con clopen của tập Cantor, là không có nguyên tử (và trên thực tế là không đầy đủ).
Ví dụ nơi $B(L)$ là một bộ quyền lực nhưng $L$ vẫn không phải là sản phẩm của các mạng lưới không thể nấu được, bạn có thể lấy $L$ trở thành mạng tinh thể của các tập con mở của $\beta\mathbb{N}$. Sau đó$B(L)\cong\mathcal{P}(\mathbb{N})$, nhưng các nguyên tử của nó là các hạt đơn $\{n\}$ cho $n\in\mathbb{N}$ vì vậy bản đồ $L\to\prod_{i\in I}L_i$ như mô tả ở trên là bản đồ $L\to\mathcal{P}(\mathbb{N})$ gửi một tập hợp con đang mở của $\beta\mathbb{N}$ đến giao lộ của nó với $\mathbb{N}$, không bị thương.