Phương sai số đo rủi ro lồi
Tôi hy vọng bạn có thể giúp tôi với câu hỏi mà tôi thực sự khó khăn với. Phương sai có phải là thước đo rủi ro lồi không? Tôi đoán là không, nhưng tôi thấy thật khó để tìm ra một ví dụ phản bác.
Đây là những suy nghĩ của tôi. Tôi đã cố gắng tìm một ví dụ trong đó:$var(\lambda X+(1-\lambda)Y))>\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$. tôi biết điều đó$var(\lambda X+(1-\lambda) Y)= \lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)cov(X,Y)$ $=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)$.
Bây giờ, nếu mối tương quan là cực đại, trong trường hợp đó $corr(X,Y)=1$ sau đó:$\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda(1-\lambda)sd(X)sd(Y)=(\lambda sd(X)+(1-\lambda)sd(Y))^2$.
Nhưng tôi vẫn không thể tìm thấy bất kỳ ví dụ nào trong đó điều này lớn hơn $\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$.
Bạn có thể cho tôi bất kỳ gợi ý? Tôi đánh giá cao nó rất nhiều.
Trả lời
Hãy để chúng tôi xem xét trường hợp tương quan tối đa của bạn. Bạn đang cố gắng tìm các giá trị như vậy
$$(\lambda \sigma_x+(1-\lambda)\sigma_y)^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$
hoặc là
$$\lambda^2 \sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)+(1-\lambda)^2\sigma_y^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$
hoặc là
$$\lambda(\lambda-1)\sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)-\lambda(1-\lambda)\sigma_y^2>0 $$
hoặc là
$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x^2+\sigma_y^2)+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)>0 $$
hoặc là
$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x-\sigma_y)^2>0 $$
điều này rõ ràng không bao giờ đúng với bất kỳ $0\leq\lambda\leq 1.$ Bởi vì LHS là lớn nhất trong trường hợp tương quan tối đa:
$$Var(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda Var( x)+(1-\lambda)Var(y)$$
và phương sai là một thước đo rủi ro lồi.