Tìm ra $n$ và $d$ vậy nên $U_d(n)$ sẽ được thiết lập.
Đây là một bài viết liên quan đến bằng cách nào đó mà tôi đã đăng trước đó . Trong bài đăng này, vấn đề được giải quyết rất tuyệt vời, tuy nhiên, tôi không thể sử dụng cùng một ý tưởng trong tình huống hiện tại này.
Giả sử $n$ là một số nguyên dương và $d$là ước số dương của nó. Nếu$U(n)$ là tập hợp của tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng $n$ và đồng chuẩn với $n$ và $$U_d(n)=\{x\in \mathbb{N}: x\equiv 1\pmod{d}\}$$ làm thế nào để tìm $n,d$ như vậy mà $$U_d(n)=\{1,13,25,37\}$$ Sẽ giữ ?
Rõ ràng ở đây $d$ là ước số của gcd của $1-1,13-1,25-1,37-1$ I E $12$. Vì thế$d=1,2,3,4,6,12$. Làm thế nào để hiển thị$d$ Là $12$chỉ có? Trong bài toán trên chỉ có hai giá trị 1 và 7. Tuy nhiên ở đây chúng ta cũng nhận được ước số tổng hợp.
Sau khi chúng tôi cho thấy điều đó, làm thế nào để tìm $n$ sau đó?
Về cơ bản những gì tôi đang tìm kiếm một cách tiếp cận chung nếu có. Ai đó có thể giúp tôi về điều này, xin vui lòng?
Đăng công việc
Sau khi nhận được những gợi ý và gợi ý (cảm ơn cả Erik Wong và cgss), tôi đang cố gắng giải quyết vấn đề này nhiều nhất có thể.
Với câu trả lời của Erik, giờ tôi đã hiểu tại sao $d=12$chỉ có. vì thế$U_d(n)$ trở thành bây giờ $U_{12}(n)$. Hơn thế nữa,$12$ phải chia $n$ và $n>37$ và mỗi thành viên của $U_{12}(n)$ phải có hình thức $12k+1$. Tuy nhiên$25\in U_{12}(n)$ nghĩa là $25\in U(n)$ và vì thế $(25,n)=1$ ngụ ý $(5,n)=1$. Như vậy$n$ phải là 5 miễn phí.
Chúng tôi xem xét sau đó, $$n=2^{a_1}3^{a_2}.m$$ Ở đâu $a_1\geqslant 2, a_2\geqslant 1, m\in \mathbb{N}$ với $(2.3.5, m)=1$. Sau đó$$U_{12}(n)\simeq U\left(\frac{n}{12}\right)=U(2^{a_1-2}3^{a_2-1}m)$$ iff $(12, \frac{n}{12})=1$. Điều này cho thấy rằng$a_1-2=0, a_2-1=0$ I E $a_1=2, a_2=1$ vậy nên $n$ giảm xuống $n=2^2 3^1 m$.
vì thế \begin{align*} &|U_{12}(n)|=|U(2^0 3^0 m)|\\ \Rightarrow &4=\varphi(m) \end{align*}
[Câu trả lời thực tế là $n=48, d=12$. Có nghĩa là bây giờ chúng tôi phải hiển thị$m=1$trong phương trình trên. Giải pháp của$\varphi(m)=4$ Chúng tôi $m\in \{5,8,10,12\}$ Nhưng làm thế nào chúng tôi có thể hiển thị ở đây $m=1$?]
Trả lời
Tôi đã đăng một câu trả lời dài hơn nhiều mà không có giả định rằng $d \mid n$, thừa nhận một số giải pháp hợp lý. Khai thác hạn chế này cho chúng ta một lượng cấu trúc đáng kể, cụ thể là$U_d(n)$ là một nhóm con của nhóm các đơn vị $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$.
Từ $U_d(n)$ có 4 phần tử, mỗi phần tử đều có phân chia theo thứ tự $4$. Vì thế$n$ phải chia cả hai $13^4 - 1$ và $25^4 - 1$, có gcd là 48. Kể từ khi $n \ge 37$, nó phải chính xác $48$. Chúng tôi dễ dàng kết luận rằng$d=12$ một khi chúng ta biết $n$.
Trước tiên, chúng tôi sẽ cố gắng loại trừ các giá trị nhỏ hơn của $d$. Chúng đều thuộc một trong hai loại$d \mid 4$ và $d \mid 6$ (hai trường hợp này tương ứng với hai thừa số nguyên tố của $12$).
Giả sử $d \mid 4$: thì thực tế là $U_d(n)$ không chứa $5$ phải là vì $n$ chia hết cho $5$, nhưng sau đó điều này mâu thuẫn $25 \in U_d(n)$.
Giả sử $d \mid 6$: thì thực tế là $U_d(n)$ không chứa $7, 19, 31$ phải là vì $n$chia hết cho tất cả các số nguyên tố đó. Nhưng sau đó$n > 169 = 13^2$, vì vậy để tránh $U_d(n)$ chứa đựng $169$ chúng tôi cần $n$ chia hết cho $13$, mâu thuẫn $13 \in U_d(n)$.
Bây giờ chúng tôi đã yên tâm $d=12$, có một số lựa chọn hợp lệ $n$, và một số trường hợp kiểm tra là không thể tránh khỏi. Thứ nhất, trong phạm vi$37 \le n < 49$, tất cả các giá trị của $n$ sẽ hoạt động ngoại trừ những số nguyên tố loại trừ chia hết $5,13,37$.
Sau khi chúng tôi kiểm tra các giá trị của $n \ge 49$, chúng ta chỉ cần xem xét $7 \mid n$. Lên đến$n < 61$, điều này cũng đủ để loại trừ $12k+1$ con số $49$ điều đó gây ra rắc rối.
Sau $n \ge 61$, chúng tôi cần $7 \cdot 61 \mid n$. Nhưng điều này buộc$n \ge 169$và như ở trên, chúng tôi biết rằng điều này là không thể vì $13 \in U_d(n)$.
Nguyên tắc chung trong cả hai phần của lập luận này (cô lập $d$ và sau đó $n$) là các loại trừ do không hợp lệ có xu hướng mang lại các giới hạn thấp hơn và lớn hơn cho $n$, và cuối cùng buộc $[1,n]$ để chứa một số chỉ bao gồm các số nguyên tố mà chúng ta biết điều gì đó.