Các chức năng đã cho $h,k:\Bbb R\to \Bbb R$, liệu có thể xác định được liệu $f,g:\Bbb R\to\Bbb R$ tồn tại để $g\circ f=h$ và $f\circ g=k$?
Giả sử tôi có hai chức năng $h,k:\Bbb R\to \Bbb R$. Tôi muốn tìm$f,g:\Bbb R\to \Bbb R$ như vậy mà $g\circ f=h$ và $f\circ g=k$. tôi biết điều đó$f,g$có thể không tồn tại (ví dụ: Phương trình hàm liên quan đến thành phần và số mũ ). Chúng ta có biết ít nhất một điều kiện để$h,k$ như vậy mà $f,g$ hiện hữu?
Điều kiện nào đảm bảo tính duy nhất của $f,g$(với điều kiện là chúng tồn tại)? Lưu ý rằng có$h,k$ như vậy mà $f,g$không phải là duy nhất. Ví dụ,$h=k=0$, Ở đâu $f=0$ hoạt động và $g$ là bất kỳ chức năng st $g(0)=0$. Hoặc khi nào$h=k$ là chức năng nhận dạng và chúng tôi lấy $f$ trở thành bất kỳ sự phản đối nào và $g=f^{-1}$.
Ít nhất, chúng ta biết gì về vấn đề này khi $h,k$là những hàm đa thức? Có một bài kiểm tra đơn giản cho chúng ta biết có đa thức không$f,g$ thỏa mãn các điều kiện cho một cặp đa thức đã cho $h,k$? Một lần nữa, điều gì về tính duy nhất của các nghiệm đa thức?
Nếu bài toán chung khó quá thì mình quan tâm nhất đến bài toán cụ thể này. Tôi muốn tìm$f,g:\Bbb R\to\Bbb R$ như vậy mà $$g\circ f(x)=x^3+1$$ và $$f\circ g(x)=x^3+3x^2+3x+2.$$ Thông suốt $f,g$là các hàm sinh học nếu chúng tồn tại. Vì vậy, chúng ta có thể xác định giá trị của$g\circ f^{-1}(-7)$?
tôi đã tìm thấy $f,g$gần như hoạt động. Khi nào$f(x)=x^3$ và $g(x)=x+1$, chúng ta có $g\circ f(x)=x^3+1$ nhưng $f\circ g(x)=x^3+3x^2+3x+1$. Thật không may, chúng không hoàn toàn hoạt động. Tôi cũng biết rằng không có hàm đa thức$f,g$ công việc đó.
Lưu ý rằng $$f(x^3+1)=f(x)^3+3f(x)^2+3f(x)+2$$ và $$g(x^3+3x^2+3x+2)=g(x)^3+1.$$ $\therefore$ nếu $a,b$ là những số thực duy nhất như vậy $a^3+1=a$ và $b^3+3b^2+3b+2=b$, chúng ta thấy rằng $f(a)=b$ và $g(b)=a$. Đây là những giá trị duy nhất của$f$ và $g$mà tôi biết. Nhưng tôi cũng có thể thấy rằng$$ f^{-1}(-7)=g(-3)$$ nếu điều đó giúp.
Để cho $h(x)=x^3+1$ và $k(x)=x^3+3x^2+3x+2$. Do$f\circ g(x)$ và $g\circ f(x)$được tặng; tìm thấy$f$ và $g$, nếu $f=f_0$ và $g=g_0$ thỏa mãn các điều kiện, sau đó $f=f_0\circ \phi$ và $g=\phi^{-1}\circ g_0$ tạo thành một giải pháp cho bất kỳ phản ứng nào $\phi:\Bbb R\to\Bbb R$ như vậy mà $h\circ \phi=\phi\circ h$. Bởi vì bất kỳ sự lặp lại nào của$h$ đi làm với $h$, chúng ta có thể thấy rằng có vô số $f$ và $g$, nếu $f_0,g_0$hiện hữu. Làm cách nào để biết liệu$f_0,g_0$ hiện hữu?
Trả lời
Nếu $h= g\circ f$ và $k= f\circ g$, một trong những $h,k$ là mặt khách quan, và tổn thương khác, sau đó $f$, $g$, $h$, $k$ tất cả đều là khách quan và $$k = f\circ h \circ f^{-1}$$, đó là $h$, $k$là liên từ. Ngược lại, nếu$h$, $k$ là liên từ, sau đó bạn có thể tìm thấy $f$, và sau đó $g$. Bây giờ, liên từ là một quan hệ tương đương.
Bây giờ trong ví dụ của chúng tôi $h(x) = x^3+1$, $k(x) = (x+1)^3 + 1$, vì thế $k(x-1) + 1 = x^3+2$, một liên từ của $k$. Vì vậy, bây giờ chúng tôi muốn xem liệu$h_1(x) = x^3+1$ và $h_2(x) =x^3+2$là liên từ. Lưu ý rằng cả hai đều có một điểm cố định duy nhất$\xi_1$, $\xi_2$, va cho $x> \xi_i$ chúng ta có $h_i^{n}(x) \to \infty$ như $n\to \infty$, $h_i^{n}(x) \to \xi_i$, như $n\to -\infty$, trong khi cho $x< \xi_i$, chúng ta có $h_i^{n}(x) \to -\infty$ như $n\to \infty$, $h_i^{n}(x) \to \xi_i$, như $n\to -\infty$. Do đó, tất cả các quỹ đạo của$h_i$-giải trừ cái chứa điểm cố định- là vô hạn. Vì vậy, tồn tại một sự phản đối$\phi\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ như vậy mà $h_2= \phi\circ h_1\circ \phi^{-1}$. Nó rõ ràng không phải là duy nhất, vì vậy một$\phi$sẽ được mong muốn. Lưu ý rằng$\phi$ lấy điểm cố định là $h_1$ đến điểm cố định của $h_2$.
Dường như cả hai $h_1$, $h_2$ cư xử như bản đồ $x\to 2 x$. Chúng có liên hợp với nó về mặt cấu trúc học không? Lưu ý rằng$l(x) = 2x$ là một phần của $1$- nhóm tham số đo sự khác biệt của $\mathbb{R}$, $(t,x)\mapsto 2^{t}\cdot x$. Nếu$h_1$, $h_2$ là liên hợp với $l$, thì chúng cũng là từng phần của một $1$-parameter nhóm các hình thái nhà của $\mathbb{R}$. Đặc biệt, có tồn tại$\psi$ một homeomorphism của $\mathbb{R}$ như vậy mà $\psi\circ \psi(x) = x^3+1$. Những gì sẽ là một homeomorphism như vậy?
$\bf{Added:}$ Trường hợp cả hai $k$, $k$là các phép chiếu đơn giản hơn, nó giảm bớt câu hỏi khi nào hai bản đồ được liên hợp dưới một phép chiếu. Chúng là nếu và chỉ khi "đồ thị" của bản đồ là đẳng tích, trong đó đồ thị bao gồm các đỉnh$x$và các cạnh $(x, h(x))$. Đối với các đường nhị phân, cấu trúc chu trình của chúng phải giống nhau.
Hãy xem xét các bản đồ chẳng hạn $x\mapsto 2 x$và $x\mapsto 4 x$. Chúng là liên hợp dưới phép bổ đôi$x\mapsto x^{2_+}\colon = x^2 \operatorname{sign} x$. Bản đồ$x\mapsto 2x$và $x\mapsto 3x$ là liên hợp dưới bản đồ $x\mapsto x^{\log_2 3_+}$.
Đây là một phụ lục cho các phân tích rất tuyệt vời đã được đưa ra bởi camkid. Dựa trên phân tích của họ, tôi sẽ cung cấp một số dữ kiện dễ hiểu về liên hợp tôpô trên thực.
Yêu cầu 1: Nếu$f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ đang gia tăng nghiêm ngặt, liên tục, không giới hạn trên và dưới, và như vậy $f(0)>0$, sau đó có một sự gia tăng nghiêm ngặt và liên tục $\varphi:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ như vậy mà $\varphi(0)=0$ và $f\circ\varphi(x)=\varphi(x+1)$. Hơn nữa nếu$f(x)>x$ cho tất cả $x\in\mathbf{R}$, sau đó $\varphi$ cũng không bị ràng buộc trên và dưới.
Bằng chứng: Vì chúng ta biết$f(0)>0$, để cho $\varphi(a)=af(0)$ cho tất cả $a\in[0,1)$. Chúng tôi sẽ xác định phần còn lại của$\varphi$ bằng cách mở rộng theo nghĩa rõ ràng: $\varphi(x)=f^{(\lfloor x\rfloor)}\circ\varphi\left(x-\lfloor x\rfloor\right)$, Ở đâu $f^{(-)}$ biểu thị sự lặp lại chức năng, như $f$là khách quan. Rõ ràng điều tiếp theo cần làm là kiểm tra xem điều này có phù hợp với các yêu cầu:
Chúng tôi buộc $f\circ\varphi(x)=\varphi(x+1)$ bởi contsruction, vậy là xong.
Để kiểm tra tính liên tục, hãy lưu ý rằng $f^{(\lfloor x\rfloor)}$ luôn liên tục, do đó, theo thành phần chức năng $\varphi$ liên tục hơn $\mathbf{R}\smallsetminus\mathbf{Z}$. Để kiểm tra tính liên tục trên$\mathbf{Z}$, nó đủ để kiểm tra tính liên tục như $x\to 1^-$. Đối với lưu ý này rằng$$\varphi(1)=f\circ\varphi(0)=f(0)=\lim_{x\to 1^-}\varphi(x)$$
Nhìn $\varphi$ đang gia tăng nghiêm ngặt, lưu ý rằng $f^{(\lfloor x\rfloor)}$ đang tăng lên theo giả định và điều đó $\varphi$ đang tăng lên nghiêm ngặt $[0,1)$, vì vậy chúng tôi nhận được $\varphi$ đang tăng nghiêm ngặt trong tất cả các khoảng thời gian $[z,z+1)$ Ở đâu $z\in\mathbf{Z}$. Tuy nhiên$\varphi$ liên tục và do đó nó đang tăng lên nghiêm ngặt $\mathbf{R}$.
Bây giờ để kiểm tra phần "more".
- Nếu $\varphi$ không phải là không bị ràng buộc, sau đó bằng sự hội tụ đơn điệu, có một giới hạn $M=\lim_{x\to A}\varphi(x)$ Ở đâu $A\in\pm\infty$. Tuy nhiên, như$f$ liên tục, $$f(M)=f\left(\lim_{x\to A}\varphi(x)\right)=\lim_{x\to A}f(\varphi(x))=\lim_{x\to A}\varphi(x+1)=M$$ Điều này mâu thuẫn với $f(x)>x$ cho tất cả $x\in\mathbf{R}$.
Yêu cầu 2: Nếu$f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ đang gia tăng nghiêm ngặt và liên tục, như vậy $f(0)=0$ và $f(x)>x$ cho tất cả $x>0$, sau đó là một sự gia tăng nghiêm ngặt, liên tục và không giới hạn $\varphi:[0,\infty)\to[0,\infty)$ như vậy mà $\varphi(0)=0$ và $f\circ\varphi(x)=\varphi(2x)$.
Bằng chứng: Hãy$g:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ được đưa ra bởi $g(x)=\log_2 f(2^x)$. Theo Yêu cầu 1, có một số$\psi:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ điều đó đang gia tăng nghiêm ngặt, liên tục, không bị ràng buộc trên và dưới, và như vậy $g\circ\psi(x)=\psi(x+1)$. Sau đó, hãy để$\varphi(x)=2^{\psi(\log_2 x)}$, vì vậy chúng tôi thấy rằng $$\varphi(2x)=2^{\psi(1+\log_2 x)}=2^{g\circ\psi(\log_2 x)}=f(2^{\psi(\log_2 x)})=f\circ\varphi(x)$$
Yêu cầu 3: Nếu$f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ đang tăng mạnh, liên tục và có chính xác một điểm cố định không ổn định $c$, đó là, $f(x)>x$ cho tất cả $x>c$ và $f(x)<x$ cho tất cả $x<c$, sau đó có sự gia tăng tính đồng cấu hình $\varphi:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ như vậy mà $\varphi^{-1}\circ f\circ \varphi(x)=2x$.
Bằng chứng: Hãy$g:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ được đưa ra bởi $g(x)=f(x+c)-c$, do đó $g$ chia sẻ tất cả tài sản với $f$ ngoại trừ $0$ là điểm cố định của $g$. Theo Yêu cầu 2, ngày càng có nhiều hình thức trang chủ$\varphi_{\pm}:[0,\infty)\to[0,\infty)$ như vậy mà $\varphi_{\pm}(0)=0$và hơn thế nữa là cả hai $\varphi_+^{-1}\circ g\circ\varphi_+(x)=2x$ và $\varphi_-^{-1}(-g(-\varphi_-(x)))=2x$. Để cho$\psi:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ được đưa ra bởi $$\psi(x)=\begin{cases} \varphi_+(x)&\text{if }x\ge 0\\ -\varphi_-(-x)&\text{if }x<0 \end{cases}$$ Vậy thì không khó để thấy rằng $\psi$ là sự gia tăng tính đồng cấu hình sao cho $\psi^{-1}\circ g\circ\psi(x)=2x$. Cuối cùng để$\varphi:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ được đưa ra bởi $\varphi(x)=\psi(x)+c$, vậy thì $$2x=\varphi^{-1}(\psi(2x)+c)=\varphi^{-1}(g\circ\psi(x)+c)=\varphi^{-1}\circ f\circ\varphi(x)$$
Như một hệ quả tất yếu, hãy lưu ý rằng cả hai $x^3+1$ và $x^3+2$ thỏa mãn yêu cầu 3, vì vậy cả hai đều là liên hợp với $2x$.
Cũng lưu ý rằng hoàn toàn có thể sửa đổi bằng chứng để cả hai $x^3+1$ và $x^3+2$ là liên hợp với $2x$ thông qua một homeomorphism mượt mà trên tất cả $\mathbf{R}$ ngoại trừ ở điểm cố định.
Điều này là không thể tránh khỏi:
Yêu cầu bổ sung 4: Xem xét hai hàm tuyến tính$f(x)=2x$ và $g(x)=4x$. Để cho$\varphi:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ là bất kỳ hình thái đồng căn nào như vậy $\varphi\circ f=g\circ\varphi$. Sau đó$\varphi$ không thể phân biệt liên tục hai lần tại $0$.
Chứng minh: Giả sử không, thì theo định lý Taylor, chúng ta có$$\varphi(x)=ax+bx^2+h(x)\cdot x^2$$ Ở đâu $h$ liên tục lúc $h(0)=0$. Sau đó, bằng cách mở rộng trên$\varphi\circ f=g\circ\varphi$, cuối cùng chúng tôi nhận được $$h(2x)-h(x)=\frac{a}{2x}$$ Sử dụng giới hạn $x\to 0$ ở cả hai phía, chúng tôi thấy rằng $a=0$và $h(2x)=h(x)$. Tuy nhiên, sự liên tục của$h$ tại $0$ ngụ ý rằng $h$ giống hệt nhau $0$, điều đó có nghĩa là $\varphi(x)=bx^2$và $\varphi$ không thể là một homeomorphism.