Câu hỏi về bất đẳng thức phân số

Question

$a,b$là các số nguyên dương. Để cho$\frac{a}{b}$ là phân số có mẫu số nhỏ nhất có thể $b$ như vậy mà $\frac{386}{2019}$ < $\frac{a}{b}$ < $\frac{35}{183}$. Xác định giá trị của$a+b$.

---

Tôi đã cố gắng đơn giản hóa sự bất bình đẳng, nhưng tôi bị mắc kẹt. Tuy nhiên, tôi biết rằng$b$ phải nhỏ nhất, cũng vậy $a$.

Bất kỳ ý tưởng làm thế nào tôi nên làm câu hỏi này? Cảm ơn vì bất kì sự giúp đỡ.

Answer 1

Có thể những điều sau đây sẽ giúp ích.

Chúng ta có $$386b+1\leq2019a$$ và $$35b\geq183a+1.$$ Chúng ta có thể giải phương trình $35b=183a+1,$ cái nào cho $$(a,b)=(13+35k,68+183k),$$ Ở đâu $k\geq0$ là một số nguyên, cho một phân số $\frac{13}{68}.$

Dễ dàng thấy rằng $\frac{13}{68}$ không hợp lệ.

Bây giờ, chúng ta có thể lấy $k=1$, $k=2$, ...

Ngoài ra, chúng ta có thể giải phương trình $386b+1=2019a,$ cái nào cho $$(a,b)=(373+386k,1951+2019k),$$ Ở đâu $k\geq0$ là số nguyên.

Dễ dàng thấy rằng $\frac{373}{1951}$ là hợp lệ.

Tôi hiểu điều đó trong trường hợp đầu tiên $k=1$ là hợp lệ, mang lại $\frac{48}{251}.$

Answer 2

Phần tiếp tục của$386/2019$ Là $[0; 5, 4, 2, 1, 29]$.

Phần tiếp tục của$35/183$ Là $[0; 5, 4, 2, 1, 2]$.

Vì vậy, phân số đơn giản nhất nằm đúng giữa các số này có phân số tiếp tục $$[0; 5, 4, 2, 1, 3]=\dfrac{48}{251}$$