Chứng minh rằng chu vi tam giác $MNC$ bằng nửa chu vi hình tam giác $ABC$

Aug 16 2020

Trong $ABC$ Tam giác đều. $K$ là trung điểm của $AB$. $M$$N$ nằm trên $AC$$BC$tương ứng. Nếu$\angle MKN=60°$, sau đó chứng minh rằng chu vi của $\triangle MNC$ bằng một nửa chu vi của $\triangle ABC$.

Trả lời

2 cr001 Aug 16 2020 at 13:18

Đầu tiên hãy nhìn vào hình bên trái.

Gương $N$ đối với $CK$, để cho nó được $N'$. Chúng tôi nhận thấy rằng$\angle CN'N=\angle MKN=60^{\circ}$. vì thế$MKNN'$là đồng chu kỳ. vì thế$\triangle MKN$hình ảnh phản chiếu của đối với $CK$ chia sẻ cùng một đường tròn ngoại tiếp với $\triangle MKN$. Do đó, trung tâm của$\triangle MKN$đường tròn ngoại tiếp nằm trên $CK$.

Bây giờ vẽ các đường phân giác góc của $\angle CMN, \angle CNM$ và để họ gặp nhau tại $I$. Chắc chắn$I$ nằm trên đường phân giác thứ ba $CK$. Từ$\angle MIN=120^{\circ}$, $M,K,N,I$là đồng chu kỳ. Hơn nữa, kết hợp với kết quả từ đoạn trước, chúng ta biết$IK$là một đường kính của đường tròn đó. vì thế$\angle IMK=\angle INK=90^{\circ}$.

Vì thế $MK$ chia đôi góc ngoài $\angle AMN$$NK$ chia đôi góc ngoài $\angle BNM$.

Bây giờ hãy nhìn vào hình bên phải. Vẽ đường tròn tiếp tuyến với$AM,MN,NB$ và để trung tâm của nó là $O$. Chúng tôi sẽ nhận thấy rằng$MO$ sẽ chia đôi góc $AMN$$NO$ sẽ chia đôi góc $BNM$ vì thế $O$$K$ về cơ bản là cùng một điểm.

Bây giờ, thật dễ dàng để xem chu vi của $\triangle CMN$ giống như $CP+CQ$, bằng một nửa chu vi của $\triangle ABC$. (Bởi vì$AP={1\over 2} AK={1\over 4}AB$ và cũng vậy $BQ$)

UalibekNurgulan Aug 16 2020 at 13:19

Tôi nghĩ rằng tôi đã giải quyết vấn đề guys!

Hãy điểm $P$ ở bên cạnh $BC$ Ở đâu $\angle NKP=60°$. Sau đó lấy điểm$T$ tại đường PK nơi $PK=KT$. Hình tam giác$BKP$$ATK$là đồng dư. Vì thế$\angle TAK=60°=\angle KBP$. Thông báo rằng$AMKT$là một đường tròn ngoại tiếp. Vì thế$\angle TAK=\angle TMK$. Như vậy$TMK$ là một tam giác đều.

Bây giờ chúng ta có thể chắc chắn rằng hình tam giác $MKN$$NKP$là đồng dư. Vì thế$MN=NK$. Theo định lý Ptolemy, chúng ta có được rằng$AM+AT=AK$. Ngoài ra, đừng quên rằng$BP=AT$.

$CM+AM+AK=CM+2AK-AT=CM+BC-BP=CM+CP=CM+CN+NP=CM+CN+MN$.