Chứng minh rằng một hàm mảnh có thể tích hợp Darboux trên $[0,2]$ hỗ trợ

Question

Để cho $f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}$ được đưa ra bởi

$$f(x) = \left\{ \begin{array}\ 10,\quad \ 0\leq x < 1, \\ 100,\quad \ x = 1, \\ -5,\quad \ 1 < x \leq 2. \\ \end{array} \right. $$

Chứng minh rằng $f$ Darboux có thể tích hợp và tính toán được không $\int_{0}^{2}f$.

Cố gắng

Đó là chức năng có thể tích hợp Darboux có nghĩa là cho tất cả $\epsilon > 0$, có một phân vùng $P$ của $[0,2]$ như vậy mà $U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$.

Giả sử $P = \{t_{0}, \dots, t_{n}\}$ là một phân vùng của $[0,2]$ với $t_{j-1} < 1 < t_{j}$.

Đối với, $t_{0} < \dots < t_{j-1}$: $m_{i} = M_{i} = 10$

Cũng cho $t_{j} < \dots < t_{n}$: $m_{i} = M_{i} = -5$

Bây giờ tôi đang gặp khó khăn với việc quản lý $x = 1$đó là nơi có sự gián đoạn và rõ ràng là thách thức của vấn đề. Lúc đầu, tôi định nói rằng$m_{i} = M_{i} = 100$ số 1 ​​nằm trong khoảng nào và điều đó sẽ cho tôi:

$$L(f,P) = \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}-5(t_{i} - t_{i-1})$$

và

$$U(f,P) = \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}-5(t_{i} - t_{i-1})$$

Sau đó, trừ đi những thứ này, tôi sẽ nhận được $U(f,P) - L(f,P) = 0 < \epsilon$.

Nhưng tôi cảm thấy đây không phải là câu trả lời đúng và tôi cần diễn đạt phân vùng rõ ràng hơn một chút. Ngoài ra bất cứ điều gì$U(f,P) - L(f,P)$là, cuối cùng nó sẽ hội tụ về tích phân là gì. Và khi tính tích phân (như một séc sử dụng calc techinques trước đó) tôi nhận được$5$mà không phải là giá trị của sự khác biệt trong tổng trên và dưới. Tôi làm sai ở đâu?

Answer 1

đã sửa $\varepsilon$ và lấy $\delta$ đủ nhỏ, bạn có thể lấy $$ t_{j-1}=1-\delta,\qquad t_j=1+\delta, $$
vậy nên \begin{align} L(f,P) &= \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + \mathbf{(-5)}(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}(-5)(t_{i} - t_{i-1})=\\ &=10(1-\delta)-5\cdot2\delta-5(1-\delta)=5-15\delta\\ U(f,P) &= \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}(-5)(t_{i} - t_{i-1})=\\ &=10(1-\delta)+100\cdot2\delta-5(1-\delta)=5+195\delta \end{align} để có $$ U(f,P)-L(f,P)=210\delta<\varepsilon $$ bạn phải chọn $$ \delta<\frac{\varepsilon}{180}. $$