Chuỗi không đổi của các tổng từng phần trong một chuỗi phân kỳ

Question

Trong chuỗi điều hòa, chúng ta có $$|H_{2n}−H_n|\geq \frac{1}{2}$$ cho tất cả $n$, ngụ ý phân kỳ. Tuy nhiên, tổng một phần từ$n$ đến $2n$, được đánh giá tại $n$, công bằng $\ln(2)$ cho tất cả $n$. Điều này không có nghĩa là chuỗi các tổng từng phần đã hội tụ thành giá trị$\ln(2)$, do đó, ngụ ý rằng chuỗi phải hội tụ? Tôi cảm thấy như tôi không hiểu điều gì đó cơ bản về tiêu chí Cauchy và sự hội tụ, v.v. - đây không phải là một chuỗi các tổng từng phần, do những điều buồn cười mà chúng ta đang làm với khoảng thời gian? Cảm ơn bạn đã giúp đỡ.

Answer 1

Đầu tiên, một điều nhỏ: tổng một phần từ $n$ đến $2n$ tiếp cận $\ln{2}$, nhưng sẽ không bao giờ thực sự bằng nó. (Tại sao?)

Thứ hai, điều quan trọng hơn: Trên thực tế, những gì bạn đã chỉ ra là chuỗi các tổng một phần $\{ H_n\}$không phải là Cauchy, và do đó không hội tụ. Thật vậy, nếu đó là Cauchy, thì theo định nghĩa$|H_{2n} - H_n| \to 0$. Điều này là bởi vì bất kỳ$\epsilon > 0$, sẽ phải tồn tại $N(\epsilon)$ mà $|H_m - H_n| < \epsilon$ bất cứ khi nào $m, n > N(\epsilon)$; sau đó chúng tôi chọn$m = 2n$ đây.