Có bao nhiêu từ có bốn chữ cái nếu có thể sử dụng tối đa mỗi chữ cái $2$ lần nào?

Question

Bạn có năm chữ cái $A, B, C, D$ và $E$. Có bao nhiêu từ có bốn chữ cái nếu mỗi chữ cái có thể được sử dụng tối đa$2$lần nào? (một chữ cái xuất hiện trong từ$0, 1$ hoặc là $2$ lần.)

Tôi đã thử $5\cdot4\cdot3\cdot3$ và sau đó nghĩ rằng các vị trí có thể được sắp xếp trong $4\cdot3\cdot2\cdot1$. Tuy nhiên, điều này nên được chia cho$2$ bởi vì $A~A~\_~\_$ và $A~A~\_~\_$là những kết quả giống nhau. Nhưng câu trả lời tôi nhận được là không đúng. Câu trả lời đúng theo chìa khóa là$540$.

Answer 1

Với $5$ chữ cái, bạn có thể làm $5^4$ từ bốn chữ cái.

Nhưng trong số những từ này,

• có những cái có một chữ cái được lặp lại bốn lần (rõ ràng là có $5$ như vậy);
• và có những từ với một chữ cái được lặp lại ba lần. Có$5 \times 4 \times 4$ những từ như vậy (thực sự bạn phải chọn ký tự ba - $5$ khả năng, bức thư kia - $4$ khả năng còn lại, và cuối cùng là vị trí của bức thư kia - $4$ khả năng).

Vì vậy, tổng số từ bạn muốn đếm là $$5^4 - 5 - 5\times 4 \times 4 = 540$$

Answer 2

Có ba trường hợp có thể xảy ra.

1. Tất cả các chữ cái đều khác biệt

Giống ($A, B, C, D$). Lựa chọn$4$ thư từ $5$ và sắp xếp họ cho $\displaystyle{5\choose 4}\cdot 4!=120$ các cách.

2. Hai phân biệt và hai giống nhau

(Giống $A,B,C,C$). Lựa chọn$3$ thư từ $5$ và chọn lại một từ những $3$ các chữ cái là chữ cái thứ tư và sắp xếp chúng: $\displaystyle{5\choose 3}\cdot{3\choose 1}\cdot\frac{4!}{2!}=360$ các cách.

3. Chỉ có hai chữ cái khác biệt

(Giống $A,A,C,C$). Lựa chọn$2$ thư từ $5$ thư và sắp xếp cho $\displaystyle{5\choose 2}\cdot\frac{4!}{2!\cdot2!}=60$ các cách.

Thêm tất cả những thứ này cho chúng tôi $540$.