Điều kiện cần (và đủ) để tích của ma trận sau là xác định dương đối xứng?

Aug 16 2020

Sửa một số $n\times n$ ma trận xác định dương đối xứng $A$. Hãy xem xét sản phẩm ma trận sau,

$$B = AC$$

Ở đâu $C$ là một tùy ý $n\times n$ma trận. Được$A$, Tôi muốn biết nếu có các điều kiện cần và đủ đã biết trên tất cả các ma trận vuông $C$ sao cho ma trận kết quả $B$cũng là xác định dương đối xứng? Tôi quan tâm hơn đến việc biết (nếu có thể) các điều kiện cần thiết.

Biên tập:

Tôi chỉ quan tâm đến ma trận thực.

Trả lời

2 ChrisRamsey Aug 16 2020 at 08:22

Nếu $C$ là một ma trận thực xác định dương giao với $A$ sau đó $AC = C^{1/2}AC^{1/2}$là xác định tích cực. Vì vậy, đây chắc chắn là điều kiện đủ.

Tuy nhiên, nó còn lâu mới cần thiết. Xem xét điều đó$$ \left[\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 4 \\ 4 & 8\end{matrix}\right]. $$

Tôi không tin rằng sẽ có một điều kiện tốt đẹp mô tả hoàn toàn như vậy $C$.

Một điều kiện cần là $$ AC = (AC)^T = C^TA \ \ \ \ \textrm{or} \ \ \ ACA^{-1} = C^T $$ Nếu ngoài $C$ là đối xứng thì nó giao tiếp với $A$ và sau đó $A^{1/2}CA^{1/2} = AC > 0$ ngụ ý rằng $C$ là xác định tích cực kể từ khi $A^{-1}$ là tích cực.

Khó có một câu trả lời đầy đủ, nhưng đó là tất cả những gì tôi có bây giờ.